zwei Grenzwerte finden

Question

Aufgabe:

(a) $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\ln x-\ln \left(\frac{\ln (x-1)}{\ln (x+1)}\right)\right)$

(b) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin (1 / x)}{\sin (x)}$.

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Lösung für die Grenzwerte oder einen Ansatz?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Zu (b):

$|\frac{x^2\sin(1/x)}{\sin(x)}|=|\frac{x}{\sin(x)}|\cdot|x||\sin(1/x)|\leq |\frac{x}{\sin(x)}|\cdot |x|\cdot 1\rightarrow 1\cdot 0=0$

für $x\rightarrow 0$.

Comments

Vielen Dank!!

Answer 2

Aloha :)

zu a) Für $x>1$ gilt wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion und wegen $\ln(x+1)>0$:

$$\ln(x-1)<\ln(x+1)\implies\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}<1$$$$\implies-\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}>-1\implies\ln(x)-\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}>\ln(x)-1$$$$\implies\lim\limits_{x\to\infty}\left(\ln(x)-\frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)}\right)>\lim\limits_{x\to\infty}\left(\ln(x)-1\right)=\infty$$

zu b) Für alle $x\ne0$ gilt für den Zähler:$$-1\le\sin\frac1x\le1\implies \left|\sin\frac1x\right|\le1\implies\left|x\cdot\sin\frac1x\right|\le|x|\implies\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)=0$$Mit der Regel von L'Hospital gilt weiter:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=1$$

Damit gilt für das Produkt:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x}{\sin x}\cdot x\sin\frac1x\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)\cdot\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)=1\cdot0=0$$

Comments

Vielen vielen Dank!! Die Rechnung hilft mir echt weiter!

Answer 3

a) (x-1)/(x+1) = 1 für x-> oo

ln1 =0

-> lim = oo- 1 = oo für x -> oo