Zeigen Sie, das für \lambda=(x_{1}, ·s, x_{n})^{T} ∈ K^{n}

Question

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Sei \( K \) ein Körper, \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( \varphi: K^{n} \rightarrow K^{m} \) eine \( K \)-lineare Abbildung. Zeigen Sie, das für \( \lambda=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in K^{n} \)
\( A \cdot \lambda=\varphi(\lambda)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \varphi\left(e_{i}\right) \) gilt, wobei \( e_{i} \) der \( i \)-te Standardbasisvektor von \( K^{n} \) ist.

Kann jemand die Aufgabe lösen ?

vielen dank

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Aufgabe 2 Sei \( K \) ein Körper, \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( \varphi: K^{n} \rightarrow K^{m} \) eine \( K \)-lineare Abbildung. Zeigen Sie, das für \( \lambda=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in K^{n} \)
\( A \cdot \lambda=\varphi(\lambda)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \varphi\left(e_{i}\right) \) gilt, wobei \( e_{i} \) der \( i \)-te Standardbasisvektor von \( K^{n} \) ist.

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Gibt es auch eine Info zu A?

Answer 1

 \( \lambda=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T} = \sum \limits_{i=1}^n x_i\cdot e_i\)

Wegen der Linearität folgt

\( \varphi(\lambda)= \varphi(\sum \limits_{i=1}^n x_i\cdot e_i )=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \cdot \varphi\left(e_{i}\right)\)