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i sei die imaginäre Einheit mit i2 = -1

In der Zahlentheorie bezeichnet man \( \sqrt{2} \)i abkürzend mit \( \sqrt{-2} \). Es wird als bekannt vorausgesetzt, dass der Ring ℤ[\( \sqrt{-2} \)] = ℤ + ℤ *  \( \sqrt{-2} \) mit der Normabbildung N(a+b* \( \sqrt{-2} \)) = (a+b* \( \sqrt{-2} \).)(a-b \( \sqrt{-2} \)) = a2+2b2 ein euklidischer Ring ist.


Geben Sie die Einheiten des Ringes ℤ[\( \sqrt{-2} \)] an.

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Es muss \((a+b\sqrt{-2})(a-b\sqrt{-2}=N(a+b\sqrt{-2})\) heißen.

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\(R:=\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]\) ist ein Unterring des Körpers \(\mathbb{C}\).

ist nun \(z=a+b\sqrt{-2}=a+ib\sqrt{2}\), dann ist \(\overline{z}=a-b\sqrt{-2}\),

also \(N(z)=z\overline{z}\). Hieraus ergibt sich

\(N(z_1z_2)=(z_1z_2)(\overline{z_1z_2)}=z_1\overline{z_1}\cdot z_2\overline{z_2}=N(z_1)N(z_2).\)

Die Norm ist also multiplikativ. \(a+b\sqrt{-2}\) ist genau dann Einheit in \(R\),

wenn es \(c+d\sqrt{-2}\in R\) gibt mit

\((a+b\sqrt{-2})(c+d\sqrt{-2})=1\). Ist dies der Fall, so

muss \(N(a+b\sqrt{-2})N(c+d\sqrt{-2})=N(1)=1\) gelten, also

\((a^2+2b^2)(c^2+2d^2)=1\). Das ist in den ganzen Zahlen nur

möglich, wenn \(a^2+2b^2=1\) ist. Für ganze Zahlen \(a,b\) gibt

es hier nur die Möglichkeiten \(a=\pm 1\) und \(b=0\).

Die einzigen Einheiten sind also \(1\) und \(-1\), also die

Einheiten von \(\mathbb{Z}\).

Avatar von 29 k

Hey, ich danke dir vielmals für deine super ausführliche Antwort.^^

Ich hätte da mal noch eine Frage: Warum sind eigentlich i und -i keine Einheiten?

Danke schon mal im voraus.^^

Weil die nicht in R liegen.

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