Zeigen Sie, dass die Reihe Σ n ≥ 1 f(\frac{1}{n}) absolut konvergiert.

Question

Hänge nun schon seit Stunden an der Aufgabe und so langsam verliere ich die Geduld. Habe schon mit der Aufgabe abgeschlossen. Bitte um Hilfe. Danke.

Es sei $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar mit $f(0)=0$ und es existiere ein $c>0$ und ein $\alpha>0$ mit $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq c|x|^{\alpha}$ für alle $x \in[-1,1]$. Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum \limits_{n \geq 1} f\left(\frac{1}{n}\right)$ absolut konvergiert.

Comments

Benutze den Mittelwertsatz, um eine Abschätzung für f(x)=f(x)-f(0) zu erhalten.

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Können Sie @Mathhilf die Aufgabe ausführlich rechnen und zeigen? Hänge nämlich auch schon seit einigen stunden.

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Naja, den Mittelwertsatz könntest Du doch mal hier aufschreiben, und damit $|f(x)|=|f(x)-f(0)|$ abschätzen, dann sehen wir weiter.