Vektoren und Gleichungen?

Question

Aufgabe: \(\mathbb L\) ist die Lösungsmenge der Gleichung \(x_1-2x_2=4\)$$\mathbb L =\left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\bigg|\space x_1-2x_2=4 \right\}$$

A) Geben sie zwei verschiedene Punkte P,Q aus R² mit P,Q aus der Lösungsmenge L an

B) Skizieren sie \(\mathbb L\) in ein x₁-x₂ Koordinatensystem

C)  Bestimme die Vektoren \(\vec a\)  und \(\vec r\)  mit \(\mathbb L = \{ \vec x| \space\vec x=\vec a+ t\vec r, \space t \in \mathbb R\}\)
Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz gefunden... um Hilfe wäre ich dankbar.

Answer 1

Aloha :)

$$L\coloneqq\left\{\binom{x}{y}\bigg|x-2y=4\right\}$$

zu a) Wir wählen die beiden einfachsten Punkte aus. Für \(x=0\) folgt aus der Bestimmungs-Gleichung für \(L\) der Wert \(y=-2\). Für \(y=0\) folgt aus der Bestimmungs-Gleichung \(x=4\). Das liefert zwei Punkte aus \(L\):$$P(0|-2)\quad;\quad Q(4|0)$$

zu b) Du zeichnest die beiden Punkte in ein Koordinatensystem und ziehst eine Linie durch sie.

~plot~ {0|-2} ; {4|0} ; 0,5x-2 ; [[-2|6|-3|3]] ~plot~

zu c) Wir können die Bestimmungs-Gleichung nach \(x\) umstellen zu \(x=4+2y\). Damit können wir alle Vektoren aus \(L\) wie folgt darstellen:$$\binom{x}{y}=\binom{4+2y}{y}=\binom{4}{0}+y\binom{2}{1}$$Wenn du möchtest, kannst du noch \(y\) durch \(t\) ersetzen, aber das ist nur Kosmetik, weil \(y\in\mathbb R\) bereits beliebig gewählt werden kann.

Answer 2

\( L = \{ \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} | x_1 - 2x_2 = 4 \} \)

a) Setze einfach Zahlen ein, dass es stimmt z.B.  \( x_1  = 4   x_2 = 0 \), dann hast

du etwa den Punkt P(4;0) . Ähnlich auch Q(0;-2).

b) Zeichne die Gerade durch die beiden in a) bestimmten Punkte.

c)  L = { x-->  | x--> = a--> + tr--> für ein t aus reellen Zahlen }

\( L =   \{   \vec{x} | \vec{x}=  \begin{pmatrix} 0\\-2 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}  \} \)