Unendliche Reihen. Konvergenzradius und Verhalten an den Rändern. 1-x^2+x^4-x^6+-....

Question

Aufgabe Unendliche Reihen:

Für die Potenzreihe

$$ \sum \limits_{i=0}^{\infty}(-1)^{i} * x^{2 i}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+- $$

bestimme man den Konvergenzbereich, atso den Konvergenzradius \( r \) und das Konvergenzverhalten an den Rändern.

Answer 1

Diese geometrische Reihe  konvergiert wenn |x²| <1 ist.

Am Rand, d.h für x=±1 hast du rechts von der Summe keine Nullfolge: (-1)^k  geht nicht gegen Null, also divergiert die Reihe am Rand.

Der Grenzwert im Konvergenzbereich ist für q=-(x²) einfach 1/(1-q)=1/(1+x²)