Funktion auf Stetigkeit untersuchen und Grenzwerte bestimmen

Question

Aufgabe:

die folgende Funktion soll auf die Stetigkeit untersucht werden: f:ℝ→ℝ:x↦$\frac{7x+7}{3x-18}$

gesucht:

a) Unstetigkeit an der Stelle x=

b) linksseitiger Grenzwert:

rechtsseitiger Grenzwert:

c) ebenfalls soll die Funktion auf eine hebbare Unstetigkeit überprüft werden. Im Falle einer hebbaren Unstetigkeit soll eine Ersatzfunktion angegeben werden. y=

d) Art der Stetigkeit (Pol gerader Ordnung, Pol ungerader Ordnung oder Lücke)

Problem/Ansatz:

Hat jemand für mich einen Ansatz?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir schreiben den Funktionsterm zunächst etwas um:

$$f(x)=\frac{7x+7}{3x-18}=\frac{7x\,\overbrace{-\,42+49}^{=+7}}{3x-18}=\frac{7x-42}{3x-18}+\frac{49}{3x-18}=\frac{7(x-6)}{3(x-6)}+\frac{49}{3x-18}$$$$f(x)=\frac73+\frac{49}{3(x-6)}$$

zu a) Der Nenner wir für $x=6$ zu Null. Dort liegt also eine Unstetigkeit vor.

zu b) Der links- und rechtsseitige Grenzwer lauten:$$\lim\limits_{x\nearrow6}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow6}\left(\frac73+\frac{49}{3(x-6)}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left(\frac73+\frac{49}{-3h}\right)=-\infty$$$$\lim\limits_{x\searrow6}f(x)=\lim\limits_{x\searrow6}\left(\frac73+\frac{49}{3(x-6)}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left(\frac73+\frac{49}{3h}\right)=+\infty$$

zu c) Die Funktion hat keine hebbare Lücke, weil an der einzigen kritiscchen Stelle $x=6$ nur der Nenner, nicht aber der Zähler zu $0$ werden.

zu d) An der Stelle $x=6$ liegt eine Polstelle ungerader Ordnung vor.

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f₁(x) = (7x+7)/(3x-18)x = 6Zoom: x(-4…10) y(-50…50)

Comments

Ich danke dir :) Das hat mir extrem geholfen!