Reihen, endliche Schreibweise und Beweis durch Induktion: 2+4+6+8+10+....+2n=(n+1)n

Question

1) \( 1+2+3+\ldots+n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n \) arithmetische Reihe

2) \( 1+2+3+\ldots+n=\frac{n \cdot(n+1)}{2} \quad \) arithmetische Reihe

3) \( 1+3+5+\ldots+(2 n-1)=n^{2} \quad \) arithmetische Reihe (Ungerade Zahlen)

4) \( 2+4+6 \ldots+2 n=(n+1) \cdot n \quad \) arithmetische Reihe (gerade Zahlen)

5) \( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n \cdot(n+1)(2 n+1)}{6} \)

a) Schreibe die Reihen in "Endlicher Schreibweise" mit Summenzeichen

b) Beweise die Behauptungen

Wie macht man das mit der ,,Endlichen Schreibweise" und dem Beweis?

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aus Duplikat (beantwortet von JotEs):

Habe ich den Beweis durch vollständige Induktion richtig durchgeführt?

2+4+6....+2n=(n+1)*n

a₁=2     (2+1)*2 = 3    oder muss ich für n 1 einsetzten, also (1+1)*2 = 2?

IS:    ((k+1)+1) * (k+1)   =    (k+1) * k + (2k+2)    ist das richtig aufgestellt? Oder muss ich auf der rechten Seite + (2k+1) rechnen?

Comments

5) Teilduplikat von https://www.mathelounge.de/91695/vollstandige-induktion-1²-2²-3²-n²-…

3) Duplikat von https://www.mathelounge.de/27848/beweis-durch-vollstandige-induktion…

1) und 2) sind dasselbe.

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3) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} 2 n-1 \)

so wäre die Schreibweise als Summenzeichen..

bei den anderen gehts genauso.. immer den letzten Teil nehmen und diese mit der Summenzeichen

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So habe ich das gemacht!

Answer 1

Reihen, endliche Schreibweise und Beweis durch Induktion:
2+4+6+8+10+....+2n=(n+1)n

2+4+6+8+10+....+2n = ∑ 2k     ergänze  unter dem Summenzeichen k=1, darüber n

Verankerung

n=1: 2 =?=2*1 stimmt.

Induktionschritt:

Induktionsvoraussetzung: 2+4+6+8+10+....+2n=(n+1)n

Induktionsbehauptung: 2+4+6+8+10+....+2(n+1)=(n+2)(n+1)

Beweis
2+4+6+8+10+....+2(n+1)        |Induktionsvoraussetzung

= (n+1)n + 2(n+1)               |n+1 ausklammern

= (n+2)(n+1) qed Induktionsschritt.

Comments

Für was genau steht nach +2+4+6 das +2n? und das nach dem = ist das Bildungsgesetz richtig?

Answer 2

Die Induktionsvoraussetzung ist, dass gilt:

2 + 4 + 6 + ... + 2 n = ( n + 1 ) * n

Im Induktionsschritt muss dann gezeigt werden, dass unter dieser Voraussetzung auch gilt:

2 + 4 + 6 + ... + 2 ( n + 1 ) = ( n + 1 + 1 ) ( n + 1 )  = ( n + 2 ) ( n + 1 )

Das geht so:

2 + 4 + 6 + ... + 2 ( n + 1 )

= [ 2 + 4 + 6 + ... + 2 n ] + 2 ( n + 1 )

unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist das

= [ ( n + 1 ) * n ] + 2 * ( n + 1 )

Nun wird (n + 1 ) ausgeklammert:

 = ( n + 1 ) * ( n + 2 ) 

und das war zu zeigen.

Comments

Ich habe: ((k+1)+1) * (k+1)   =    (k+1) * k + (2k+1) gerechnet und bekomme dann k²+3k+2=k²+3k+2 raus.

Damit ist es doch auch bewiesen oder irre ich mich?

Deine Rechnung verstehe ich leider nicht ganz. Kann man die noch ein bisschen genauer erklären?


M.f.G.

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@Toni: Den vollständigen Beweis hat dir JotEs hingeschrieben.

Schreibe:

Induktionsbehauptung:    ((k+1)+1) * (k+1)   =    (k+1) * k + (2k+2)  

Dann ist deins halb ok. 

Ich habe: ((k+1)+1) * (k+1)   =    (k+1) * k + (2k+1) gerechnet und bekomme dann k²+3k+2=k²+3k+2 raus.

Du musst daraus eine Umformung basteln, mit der ru von rechts nach links kommst in deiner Gleichung.