Pythagoras: Kegel in Halbkugel in Zylinder

Question

Aufgabe:

Ein Kegel mit Radius r und Höhe r wird einer Halbkugel und diese wiederum einem Zylinder einbeschrieben.

a)Archimedes von Syrakus entdeckte, dass die Volumina von Zylinder, Halbkugel und Kegel im Verhältnis 3:2:1  stehen . Begründe diese Behauptung.

b) wie verhalten sich die Oberflächen der drei Körper zueinander?

c) wie verhalten sich die Volumina der drei Körper zueinander

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich vorgehen  soll?

Answer 1

Zylinder

V = pi * r² * r = 3/3 * pi * r³

Halbkugel

V = 1/2 * 4/3 * pi * r³ = 2/3 * pi * r³

Kegel

V = 1/3 * pi * r² * r = 1/3 * pi * r³

Jetzt siehst du direkt dass sie im Verhältnis 3:2:1 stehen oder ?

Stelle jetzt auch mal Formeln zur Oberfläche auf.

Comments

Welche Aufgabe hast du damit beantwortet ?

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a) Archimedes von Syrakus entdeckte, dass die Volumina von Zylinder, Halbkugel und Kegel im Verhältnis 3:2:1  stehen . Begründe diese Behauptung.

Jetzt siehst du direkt dass sie im Verhältnis 3:2:1 stehen oder ?

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Du beantwortest Teil c).
Für Teil a) empfehle ich die Anleitung aus der Überschrift.

Answer 2

"b) wie verhalten sich die Oberflächen der drei Körper zueinander?"

Zylinder:

O=4r²π

Halbkugel:

O=2r²π

Kegel:

O=rπs + r²π     s=$\sqrt{2r^2}$=r$\sqrt{2}$

O=r²π$\sqrt{2}$+ r²π=r²π($\sqrt{2}$+1)

Comments

Halbkugel:
O=2r²π

Die Oberfläche $O_K$ einer Kugel ist $O_K=4r^2\pi$. Die Hälfte davon plus die Grundfläche von $r^2\pi$ wäre dann$$O = 2r^2\pi + r^2\pi = 3r^2\pi$$

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Danke! Beim Kegel habe ich die Grundfläche noch dazu ergänzt...