Bestimme alle reellen Lösungen der Ungleichung

Question

Aufgabe:

Bestimme alle reellen Lösungen der Ungleichung

Ι \( \frac{1}{2x} \) Ι + \( \frac{1}{x} \) ≥ 2x

Problem/Ansatz:

Ich brauche dringend einen Denkanstoß. Ich habe gerade einfach keine Ahnung, wie ich die Gleichung lösen soll.

Der erste Summand steht in Betragsstrichen.

Answer 1

\(  |\frac {1}{2x}| + \frac {1}{x}  \ge 2x \)

1. Fall: x>0 :

\(  \frac {1}{2x}  + \frac {2}{2x}  \ge 2x \)

\(  \frac {3}{2x}  \ge 2x \)

\(  3  \ge 4x^2 \)

\(  \frac {3}{4}  \ge x^2 \)

wegen x>0 gilt das für alle \(  0 < x \le \frac {\sqrt{3}}{2}  \)

2. Fall entsprechend:  x<0 :

\(  \frac {-1}{2x}  + \frac {2}{2x}  \ge 2x \)

\(  \frac {1}{2x}  \ge 2x \)

\(  1  \le 4x^2 \)

\(  \frac {1}{4}  \le x^2 \)

wegen x<0 gilt das für alle \(  -\frac {1}{2} \ge x \)

Comments

Vielen Dank <3

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aber wieso ist es jetzt -\( \frac{1}{2} \)  ?

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aaah, weiter unten wurde es beantwortet ^^

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Die letzte Aussage kann wohl nicht stimmen.

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Oha, das korrigiere ich.

Answer 2

Lösungsmenge={x|x≤-1/2∨0<x≤√3/2.

Answer 3

Aloha :)

Wir betrachten die beiden Fälle \(x>0\) und \(x<0\).

1. Fall: \(x>0\)$$\left.\left|\frac{1}{2x}\right|+\frac1x\ge2x\quad\right|\text{Betragsstriche "auflösen"}$$$$\left.\frac{1}{2x}+\frac1x\ge2x\quad\right|\cdot2x$$$$\left.1+2\ge4x^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt3\ge2|x|\quad\right|\colon2$$$$\left.|x|\le\frac{\sqrt3}{2}\quad\right.$$Wegen \(x>0\) haben wir für diesen Fall die Lösungen:$$0<x\le\frac{\sqrt3}{2}$$

2. Fall: \(x<0\)$$\left.\left|\frac{1}{2x}\right|+\frac1x\ge2x\quad\right|\text{Betragsstriche "auflösen"}$$$$\left.-\frac{1}{2x}+\frac1x\ge2x\quad\right|\cdot2x$$$$\left.-1+2\le4x^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt1\le2|x|\quad\right|\colon2$$$$\left.|x|\ge\frac{\sqrt1}{2}\quad\right.$$Wegen \(x<0\) haben wir für diesen Fall die Lösungen:$$x\le-\frac12$$

Zusammengefasst zur Gesamtlösung:$$x\in\left(-\infty\bigg|-\frac12\right]\cup\left(0\bigg|\frac{\sqrt3}{2}\right]$$

~plot~ abs(1/(2x))+1/x ; 2x ; x=-1/2 ; x=3^(1/2)/2 ; [[-4|4|-6|6]] ~plot~

Comments

Sind nicht alle Zahlen, die kleiner als -1/2 sind, Lösungen?
Wenn mit x < 0 multipliziert wird, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.

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Ach, ich Dööfchen... Danke fürs Aufpassen, ich hab's korrigiert ;)