Aufgabe:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{e^{k-1}} \)
Problem/Ansatz:
ich vermute, dass man hier mit der harmonischen Reihe bzw. dem Majorantenkriterium die Divergenz der Reihe zeigen kann.
Ist das richtig?
e^(k-1) wächst schneller als k^2 -> lim = 0 für k -> oo
-1 kannst du vernachlässigen.
Aus \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{k^2}{\mathrm e^{k-1}}=0\) folgt noch nicht die Konvergenz der Reihe.
Verwende Quotientenkriterium:
a(k+1)/a(k)= (k+1)^2*e^(k-1)/(e^k*k^2)
(k^2+2k+1)/e*k^2 (Nenner und Zähler durch k^2 teilen)
(1+2/k+1/k^2)/e für k nach unendlich
steht im Zähler 1+0+0=1
Also steht dann im Bruch:
1/e ist kleiner als 1, also konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.
Majorantenkriterium:$$\sum \frac{k^2}{e^{k-1}}=e\sum \frac{k^2}{e^k}=e\sum \frac{k^2}{1+k+k^2/2+k^3/6+k^4/24+...}\leq\\\leq 24e\sum \frac{1}{k^2}.$$Letztere Reihe ist eine konvergente Majorante.
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