Trigonometrie - Berechne Alpha

Question

Text erkannt:

RaOIUS $r=\overline{B M}=5, \overline{A O}=8$ Beascmne d

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Hallo,

ich rate mal, dass das $\overline{A{\color{red}D}}=8$ heißen soll - oder?

Ist das eine Wettbewerbsaufgabe?

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Ja, Entschuldigung, dass meine Schrift nicht ganz leserlich ist. Genau, die Strecke AD beträgt 8. Die Aufgabe gehört zu einem Schülern, und ich kann sie einfach nicht lösen.

Answer 1

Hallo,

Die Winkel $\angle DAB$ und $\angle DCA$ (gelb) sind gleich groß (Umfangswinkel über der Strecke $BD$). Die Dreiecke $\triangle BAM$ (grün) und $\triangle ADM$ (blau) sind beide gleichschenklig. Bei $\triangle BAM$ ist folglich $\alpha = \angle MAB$ (blau).

Wenn $2\alpha = 2\angle MAB = \angle DAB$ sein soll, muss $\angle DAM = \alpha$ sein. Daraus folgt, dass die beiden Dreiecke $\triangle BAM$ und $\triangle ADM$ beide den Basiswinkel $\alpha$ haben und daher gleich sind.$$\implies |AB| = |AD| \implies \alpha = \arccos\left(\frac{\frac12|AB|}{|BM|}\right) = \arccos(0,8) \approx 36,9°$$Gruß Werner

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Wunderbar! Vielen Dank für deine Lösung. Leider habe ich vorher nicht bemerkt, dass die Winkel DAB und DCA gleich sind.

Answer 2

1) Der rote Winkel ist (auch) 2α. Warum?

2) Der grüne Winkel ist (auch) α. Warum?

3) Wegen 1) und 2) ist der orange Winkel auch α.

4) Dieser orange Winkel α ist Innenwinkel im Dreieck ADM, dessen Seitenlängen alle bekannt sind.

Damit ist die Berechnung dieses Innenwinkels α mit dem Kosinussatz oder im halbierten Dreieck möglich.

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∠ADC = α (Peripheriewinkelsatz)  ⇒ ∠BDA = 90°-α (Thales)

∠CBD = 90°-2α (Thales)  ⇒ ∠ABD = 90°-α

⇒ BA = AD

α mit Kosinus im rechtw. Δ BAC

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Das ist auch schön.