Bestimmen Sie alle auf (a, b) differenzierbaren Funktionen, die f'= f erfüllen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle auf (a, b) differenzierbaren Funktionen, die f'= f erfüllen.

Answer 1

Ist $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ mit $f'=f$, dann ist

        $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}}=\frac{f'(x)\mathrm{e}^{x}-f(x)\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}=\frac{f(x)\mathrm{e}^{x}-f(x)\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2x}}=0$,

also ist $\frac{f}{\mathrm{e}^x}$ konstant.

Answer 2

Es ist $f'/f=1$, also $\ln(f(x))=x+C$. Mit $c=e^C$ folgt

$f(x)=e^{x+C}=ce^x$.