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Zeigen Sie, dass es keine differenzierbaren Funktionen mit folgenden Eigenschaften gibt

f,g:R->R gibt mit f(0)=0=g(0) und f(x)g(x)=x       für alle x element der reellen zahlen
von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen, dass es keine diffbaren Funktionen mit f(0)=g(0)=0 und f(x)*g(x)=x gibt. Wie beweisen?

Stichworte: differenzierbar,null,produkt,beweis,funktion

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es keine diffbaren Funktionen mit f(0)=g(0)=0 und f(x)*g(x)=x gibt


Problem/Ansatz:

Wie beweisen?

2 Antworten

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Wenn es das gäbe, dann hätte das Produkt die Ableitung 1.

Aber f(x)*g(x) abgeleitet gibt

f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) und das hätte an der Stelle 0 den Wert 0

und nicht den Wert 1.

von 170 k
Wenn es das gäbe, dann hätte das Produkt an jeder Stelle die Ableitung 1.

Schöner Beweis. Zum meinem Verständnis mal den ersten Satz ergänzt.

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Nehme an, es gäbe Funktionen mit diesen Eigenschaften.

Definiere h(x) := f(x)g(x). Differenzieren ergibt nach der Produktregel

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

Setze  x=0. Dann gilt

h'(0) = f'(0)g(0) + f(0)g'(0) = f'(0)·0 + 0·g'(0) = 0 + 0 = 0.

Andererseits gilt  f'(x) = 1 für alle x. Insbesondere ist  f'(0) = 1.

Das ergibt den Widerspruch 0 = 1.
von

Korrektur:

Andererseits gilt  h'(x) = 1  für alle  x. Insbesondere ist  h'(0) = 1.

und wieso ist h'(x)=1?
Weil h(x) = f(x)g(x) = x  nach Voraussetzung.
Bin schon drauf gekommen, sorry und danke.
Ich verstehe das trotzdem nicht du setzt x = 0, dann ist doch h(0) = x = 0 oder sehe ich den Baum vor lauter Wald nicht?
Aber die Ableitung von x ist 1 und es ist nicht wichtig was du für x einsetzen willst. Zumindest so habe ich das verstanden.

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