Aloha :)
Gegeben ist die Funktion:$$f(x)=-x^2+2x$$
Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes benötigen wir zunächst die Gesamtfläche \(F\), die die Funktion mit der \(x\)-Achse einschließt. Wegen \(f(x)=-x(x-2)\) liegen die Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\):$$F=\int\limits_0^2f(x)\,dx=\int\limits_0^2\left(-x^2+2x\right)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2=-\frac83+4=\frac43$$
Die Rotationsachse verläuft parallel zur \(x\)-Achse durch das Maximum der Funktion:$$f(x)=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1\implies f_{\text{max}}=1$$
~plot~ -x^2+2x ; 1 ; [[0|2,2|0|1,2]] ~plot~
In das Trägheitsmoment \(I\) gehen die senkrechten Abstände aller Punkte der Fläche von der Rotationsachse \(f_{\text{max}}=1\) quadratisch ein:
$$I=\frac1F\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}\left(f_{\text{max}}-y\right)^2dx\,dy=\frac{1}{\frac43}\;\int\limits_{x=0}^2\!\int\limits_{y=0}^{-x^2+2x}\left(1-y\right)^2dx\,dy$$$$\phantom{I}=\frac34\int\limits_{x=0}^2\left[\frac{(y-1)^3}{3}\right]_{y=0}^{-x^2+2x}dx=\frac14\int\limits_{x=0}^2\left[(-x^2+2x-1)^3-(-1)^3\right]\,dx$$$$\phantom{I}=\frac14\int\limits_0^2\left(-(x-1)^6+1\right)\,dx=\frac14\left[x-\frac{(x-1)^7}{7}\right]_0^2$$$$\phantom{I}=\frac14\left[\left(2-\frac17\right)-\left(0-\left(-\frac17\right)\right)\right]=\frac14\cdot\frac{12}{7}=\frac37$$
Ich komme nicht auf das vorgegebene Ergebnis \(\frac47\), sondern auf \(\frac37\), sehe aber keinen Bug in meiner Rechnung.
