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Hallo habe eine Frage und zwar soll zu folgender Aufgabe bestimmt werden ob diese Injektiv, Surjektiv oder Bijektiv ist. Jedoch kenne ich mich hier nicht so richtig aus. Ich schreibe hier mal die Aufgabe hin und dann wo ich mich nicht so richtig auskenne.

Z2Z+1, n2n3, wobei 2Z+1={2n+1nZ}\mathbb{Z} \rightarrow 2\mathbb{Z} +1, \text{ }n\rightarrow 2n-3,\text{ wobei } 2\mathbb{Z} +1 = \left\{2n+1|n\in \mathbb{Z}\right\}

Was ist hier mit 2Z gemeint? Wie kann ich das im allgemeinen bestimmen?

Danke vielmals!

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Aloha :)

Die Abbildung ff geht von den ganzen Zahlen Z\mathbb Z in alle ungeraden ganzen Zahlen 2Z+12\mathbb Z+1:f(n)=2n3f(n)=2n-3

1) Wir prüfen zunächst, ob die Funktion surjektiv ist.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge 2Z+12\mathbb Z+1 mindestens 1-mal getroffen wird. Daher greifen wir uns eine beliebige ungerade ganze Zahl uu heraus und prüfen, ob es nn gibt, das auf uu abbildet:u=!f(n)=2n3    2n=u+3    n=u+32Zu\stackrel!=f(n)=2n-3\implies 2n=u+3\implies n=\frac{u+3}{2}\in\mathbb Z\quad\checkmarkWeil uu ungerade ist, ist (u+3)(u+3) gerade, sodass (u+3)/2(u+3)/2 eine ganze Zahl ist. Wir können also für jedes uu ein passendes nn angeben, das es trifft.

Die Funktion ist surjektiv.

2) Wir prüfen nun, ob die Funktion injektiv ist.

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge 2Z+12\mathbb Z+1 höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen an, dass es zwei Werte a,bZa,b\in\mathbb Z gibt, die dasselbe Ziel treffen:f(a)=f(b)    2a3=2b3    2a=2b    a=bf(a)=f(b)\implies 2a-3=2b-3\implies 2a=2b\implies a=bDas heißt im Umkehrschluss:ab    f(a)f(b)a\ne b\implies f(a)\ne f(b)Also wird jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen.

Die Funktion ist injektiv.

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Und somit dann auch bijektiv. Jetzt habe ich noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe, wenn eine Funktion jetzt von [0,4] -> [0,4] bezeichnet wird, dann muss das ergebnis im Zahlenbereich von 0 bis 4 liegen nicht wahr? Also ich muss dann für die surjektivität beweisen das wenn meine funktion zum Beispiel x/2+1 ist, das x/2+1 im Bereich von 0 bis 4 liegt oder.

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird. Das ist der Fall, wenn es mindestens 1-mal und höchstens 1-mal getroffen wird. Wenn eine Funktion also injektiv und surjektiv ist, ist sie auch bijektiv.

Du musst dir zur Prüfung der Injektivität bzw. Surjektivität jedes Element aus der Zielmenge ansehen, aber kein Element außerhalb der Zielmenge.

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Was ist hier mit 2Z gemeint?

Steht dahinter 2Z+1={2n+1nZ} 2\mathbb{Z} +1 = \left\{2n+1|n\in \mathbb{Z}\right\}

also kurz: Alle ungeraden ganzen Zahlen.

Also ist die Abbildung bijektiv.

Avatar von 289 k 🚀

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