Aloha :)
Die Abbildung f geht von den ganzen Zahlen Z in alle ungeraden ganzen Zahlen 2Z+1:f(n)=2n−3
1) Wir prüfen zunächst, ob die Funktion surjektiv ist.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge 2Z+1 mindestens 1-mal getroffen wird. Daher greifen wir uns eine beliebige ungerade ganze Zahl u heraus und prüfen, ob es n gibt, das auf u abbildet:u=!f(n)=2n−3⟹2n=u+3⟹n=2u+3∈Z✓Weil u ungerade ist, ist (u+3) gerade, sodass (u+3)/2 eine ganze Zahl ist. Wir können also für jedes u ein passendes n angeben, das es trifft.
Die Funktion ist surjektiv.
2) Wir prüfen nun, ob die Funktion injektiv ist.
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge 2Z+1 höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen an, dass es zwei Werte a,b∈Z gibt, die dasselbe Ziel treffen:f(a)=f(b)⟹2a−3=2b−3⟹2a=2b⟹a=bDas heißt im Umkehrschluss:a=b⟹f(a)=f(b)Also wird jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen.
Die Funktion ist injektiv.