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Aufgabe:

Löse die folgenden beiden Differentialgleichungen:
a) \( y^{\prime}=e^{x+y}, y(1)=0 \)


Problem/Ansatz:

Es sind \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=g(x):=e^{x} \) stetig. Somit liegt hier eine separierbare Differentialgleichung vor.
Wegen \( g(0)=1 \neq 0 \) ist die Differentialgleichung eindeutig lösbar. Definiere zunächst \( F(x):=\int \limits_{1}^{x} e^{t} \mathrm{~d} t=e^{x}-e \),
sowie \( H(y):=\int \limits_{0}^{y} \frac{1}{e^{s}} \mathrm{~d} s=\left[-e^{-s}\right]_{0}^{y}=1-e^{-y} \). Bestimme nun \( H^{-1}(x) \) : Es gilt
\( 1-e^{-y}=x \Leftrightarrow-e^{-y}=x-1 \Leftrightarrow e^{-y}=1-x \Leftrightarrow-y=\ln (1-x) \Leftrightarrow y=-\ln (1-x)=H^{-1}(x) \). Die eindeutige Lösung ist nun gegeben durch \( \psi(x)=H^{-1}(F(x))=-\ln \left(1-e^{x}\right) \).


Hallo,
ich beschäftige mich grade mit Anfangswertproblemen
und verstehe nicht ganz die Lösungen wenn es zu separierbaren
Differentialgleichungen kommt.
Vor allem seh ich häufig, dass bei den Äquivalenzumformungen am
Ende immer nach einem y bzw. phi aufgelöst wird.
Unterscheiden sich das phi und das y
bei den Anfangswertproblemen?
Daher frage ich mich hier auch, warum man hier H^(-1) nimmt, kann man nicht einfach H(x) = F(x)
als Gleichung benutzen und dann u.a. mit dem Logarithmus nach dem y auflösen?

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Hallo

 1. zwischen y(x) und ψ(x) ist kein Unterschied manche nennen halt jede Lösung ψ(x)

2. H-1 zu bilden ist nur allgemein geschrieben, für dich ist das einfach ln anwenden  aber ln ist ja die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ,also wenn x=H(y) dann ist eben H-1(y)=x

ich finde auch, dass diese allgemeine Darstellung  für dies einfache Problem sehr umständlich dargestellt ist. Aber dass wenn y nach der Integration nicht allein da steht - was ja selten ist. sondern als Funktion von x muss man Hal nach y auflösen und das heisst die Umkehrfunktion anwenden,die nicht immer so einfach ist wie bei e^y

Gruß lu

Avatar von 106 k 🚀

zwischen y(x) und ψ(x) ist kein Unterschied

Hast du mal y(1) und ψ(1) verglichen ?

Also es gilt ja y = -ln(1-x) und da kommt bei mir wenn ich x = 1 einsetze "error" oder wie muss das machen ?

Hallo

ich hatte nur auf deine Fragen geachtet, aber in deinem post ist ein Fehler du hattest ja eigentlich 1-e-y=F(x) du schriebst aber 1-e-y=x ab da ist es dann falsch

richtig also 1-e-y=e^x-e,  e-y=1+e-e^x, jetzt  erst ln anwenden!

Deine Lösung war also falsch y=-ln(1+e-e^x)

und hier ist wirklich y(1)=-ln(1)=0

Gruß lul

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