Zeigen Sie, dass f auf jedem abgeschlossenen Intervall [a, b] integrierbar ist und berechnen Sie das Integral

Question

Kann mir jemand helfen? Ich verstehe dieses Beispiel gar nicht..(heulender smiley)

Gegeben ist die Funktion

\(f(x)=\left\lceil x+\frac{1}{2}\right\rceil\)

wobei \( \lceil x\rceil=\min \{n \in \mathbb{Z} \mid n \geq x\} \). Zeigen Sie, dass \( f \) auf jedem abgeschlossenen Intervall \( [a, b] \) integrierbar ist und berechnen Sie das Integral

\(\int \limits_{-2}^{2} f(x) d x\)

Danke im Voraus!!!

Answer 1

f ist auf jedem Intervall [a,b] auf endlich vielen Teilintervallen,

die ganz [a,b] überdecken abschnittsweise konstant.

Somit eine Treppenfunktion also integrierbar.

Im betrachteten Intervall   [-2,2]  gilt

f(x) =  -2   für -2≤x<-1,5
    =  -1  für -1,5≤x<-0,5
    =  0  für -0,5≤x<0,5
    =  1  für  0,5≤x<1,5
     =  2  für 1,5≤x≤2

Dann ist das Integral

= 0,5*(-2) + 1*(-1) + 1*0 + 1*1 + 0,5*2 = 0

Comments

\(\int \limits_{-2}^{2} f(x) d x =  4 \)