Grenzwert einer unbekannten konvergenten Folge bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f :IR→IR durch f(x)=x²+x−6. Es sei (x_n),n∈IN die konvergente Folge, die sich aus der Iteration des Newton-Verfahrens zum Startwert x₀ = 3 ergibt. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (x_n).

lim(n→∞) x_n = ?

Wie muss man das hier machen?

Answer 1

Aloha :)

Das Newton-Verfahren dient hauptsächlich zur Bestimmung von Nullstellen. Dabei legt man an einer Stelle \(x_n\) eine Tangente an die Kurve \(f(x)\) an$$t(x)=f(x_n)+f'(x_n)\cdot(x-x_n)$$ und bestimmt dann die Stelle \(x\) an der diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet.$$0\stackrel!=t(x)=f(x_n)+f'(x_n)\cdot(x-x_n)\quad\implies\quad x=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$Diese Stelle \(x\) wählt man als nächsten Näherungswert \(x_{n+1}\) und wiederholt das Verfahren:$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$Du sollst den Grenzwert dieser Folge \((x_n)\) mit dem Startwert \(x_0=3\) für die gegebene Funktion \(f(x)\) bestimmen. Dazu brauchen wir die Ableitung:$$f(x)=x^2+x-6\quad;\quad f'(x)=2x+1\quad\implies$$und setzen alles in die Rekursionsgleichung ein:$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2+x_n-6}{2x_n+1}=\frac{x_n^2+6}{2x_n+1}\quad;\quad x_0=3$$Kriegst du die Bestimmung des Grenzwertes selbst hin? Sonst frag nochmal nach ;)

Comments

leider nicht :/ Dadurch dass oben x² steht und unten x ohne exponent hätte ich gedacht dass der Grenzwert bis unendlich geht, aber in den Lösungen steht 2... Wie muss man das denn hier machen?

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In der Aufgabenstellung ist bereits vorausgesetzt, dass die Folge konvergiert. Wir brauchen daher die Konvergenz nicht mehr zu zeigen.

Wenn die Folge \((x_n)\) gegen einen Grenzwert \(x\) konvergiert, dann konvergiert auch die Folge \((x_{n+1})\) gegen diesen Grenzwert \(x\). Es ist ja dieselbe Folge, nur ein Folgenglied weiter:$$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$$

Damit rechnen wir nun:$$\left.x_{n+1}=\frac{x_n^2+6}{2x_n+1}\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{x_n^2+6}{2x_n+1}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}(x_n^2+6)}{\lim\limits_{n\to\infty}(2x_n+1)}\quad\right|\text{Grenzwert ist \(x\)}$$$$\left.x=\frac{x^2+6}{2x+1}\quad\right|\cdot(2x+1)$$$$\left.2x^2+x=x^2+6\quad\right|-x^2$$$$\left.x^2+x=6\quad\right|-6$$$$\left.x^2+x-6=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=-\frac12\pm\sqrt{\frac14+6}=-\frac12\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=-\frac12\pm\frac52$$

Da der Startwert \(x_0=3\) positiv ist, bleiben alle Folgenglieder \((x_n)\) positiv. Daher ist der Grenzwert der Folge die positive Lösung:$$x=-\frac12+\frac52=2$$

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Wenn beim Grenzwert x rauskommt dann hätte ich das schon als die Lösung verstanden, wie kommt man dann darauf dass man das ganze danach nochmal gleich x setzt?

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Ich habe den Grenzwert von \((x_n)\) einfach nur \(x\) genannt.

Answer 2

Hallo

entweder musst du eben das Newtonverfahren aufschreiben und damit den GW der (monoton fallenden) Folge bestimmen, oder du darfst benutzen, dass das Newtonverfahren gegen die benachbarte Nullstelle  x0=2 konvergiert.

Gruß lul