Kontrolle / Lagrange / Kosten

Question

Hatte bei der Aufgabe einige Schwierigkeiten wär super wenn wer einen Blick drüberwerfen könnte. Rechenweg sowie Angaben sind angeführt. Vielen Dank und LG

Aufgabe

Ein Unternehmen weist folgende
Produktionsfunktion $F(K, L)$ mit den Inputfaktoren $K$ für Kapital und $L$ für Arbeit auf
$F(K, L)=K^{0.1}+L$
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt $p_{K}=0.45$ und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt $p_{L}=3$. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von $370 \mathrm{ME}$ produziert werden soll.
a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor $K$ im Kostenminimum? K=369,04405
b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor $L$ im Kostenminimum? L=0,637299
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ im Kostenminimum? Lambda= 3
d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten? 1107,42 (gerundet)

Problem/Ansatz:

Meine Berechnungen:

Lagrange
$C\left(x, y\right)=0,45 x+3 y$
$F(x, y)=x^{0,1}+y=30 \Rightarrow x^{0,1}+y-370=0 \quad$
$L\left(x, y, L\right)=0,45 \cdot x+3 y-\lambda\left(x^{01}+y-370\right)$
$\left.=0,45 \cdot x+3 y-\lambda^{10} \sqrt{x}-\lambda y+320 \lambda\right)$
$L^{\prime}(x): \quad 0,45-\frac{\lambda}{10 \sqrt[10]{x^{9}}}=0 \quad \Rightarrow \lambda=4,5 \cdot \sqrt[10]{x^{9}}$
$L^{\prime}(y): \quad 3-\lambda \quad \Rightarrow \lambda=3$
$\lambda=\lambda$
$\begin{array}{l}3=4,5 \cdot \sqrt[10]{x^{4}} \\ \frac{2}{3}=\sqrt[10]{x^{9}}\end{array} \Rightarrow x=\frac{2 \sqrt[9]{13.122}}{9}=$
$x=0,637299=L$
nach $\lambda$ ableiten: $-\sqrt[10]{x}-y+320=0$
$+x$ einsetzen
$\begin{aligned}-\sqrt[10]{x}+370 &=y \\-\sqrt[10]{0,637299}+370 &=y \end{aligned}$
$369,04405=y=k$
Minimalen Kosten:

C(0,637299 ; 369,04405) &=0,45 \cdot 0,637299+3 \cdot 369,04405=\\
&=1107,41893455 \\
&=1107,42
\end{aligned}
\)

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion $C(k;L)$ soll unter der Nebenbedingung $F(K;L)$ optimiert werden:$$C(K;L)=0,45K+3L\quad;\quad F(K;L)=K^{0,1}+L=370$$Nach Langrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingngen sein:$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\operatorname{grad}F(K;L)\implies\binom{0,45}{3}=\lambda\binom{0,1K^{-0,9}}{1}$$Wir lesen als Lösung ab:$$\lambda=3\implies$$$$0,45=3\cdot0,1K^{-0,9}\implies K^{-0,9}=\frac{0,45}{0,3}=\frac32\implies K=\left(\frac32\right)^{\frac{-1}{0,9}}\approx0,637299\implies$$$$L=370-K^{0,1}\approx369,04405\implies$$$$C_{\text{min}}=1107,42$$

Ja, passt alles, insbesondere $\lambda=3$ ist richtig.

Comments

Super, freut mich richtig gerechnet zu haben :P :D Herzlichen Dank und einen schönen Abend noch!

Answer 2

Hier zunächst nur eine Kontroll-Lösung von Wolfram-Alpha.

Comments

Hallo Mathecoach, danke für die schnelle  Rückmeldung. Habe bei deiner Lösung einen Fehler entdeckt k^0,3 anstatt k^0,1

Habe es mit wolfram nachgerechnet und komm auf die selben Ergebnisse wie meine. Kann ich dann auch davon ausgehen, dass mein errechneter Lambda Wert stimmt ?

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Sorry für den Tippfehler. Hier die Richtige Lösung

https://www.wolframalpha.com/input?i=min+0.45*k%2B3*l%2Ck%5E0.1%2Bl%…

Ja. Du kannst davon ausgehen das dein Lambda richtig ist, denn hättest du es verkehrt dann hättest du auch k oder l nicht richtig ausrechnen können.