Die Masten, die Seilbahn und der Durchhang

Question

Aufgabe:

Zwei Masten A und B einer Seilbahn stehen \( 500 \mathrm{~m} \) auseinander. Die Mastspitze B liegt um \( 100 \mathrm{~m} \) höher als Mastspitze A. Ein unbelastetes Seil zwischen den beiden Masten kann durch die Graphen der Funktionenschar \( f_{t} \) mit \( f_{t}(x)=t x^{2}+(0,2-500 t) x \) beschrieben werden (Einheiten in \( \mathrm{m} \) ).

a) Zeichnet man eine Gerade g durch die Punkte \( A \) und \( B \), so versteht man unter dem Durchhang des Seils an einer Stelle \( x \) die Differenz zwischen den Funktionswerten der linearen Funktion \( g \) und der quadratischen Funktion \( f_{t} \) an dieser Stelle. Der maximale Durchhang des Seils zwischen \( A \) und \( B \) beträgt \( 50 \mathrm{~m} \). Bestimmen Sie den Wert für t und geben Sie die Stelle an, an der der Durchhang am größten ist.

b) Stellen Sie den Verlauf des Seils grafisch dar.

c) Unter welchem Winkel kommt das Seil im Punkt B an?

Problem/Ansatz:

Wir sollen diese Aufgabe machen, aber ich habe damit Probleme (also a-c). Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

So sieht das Seil aus:

Durch die Lösung der Gleichung

\( \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{100}{500} x-\left(t x^{2}+(0.2-500 t) \cdot x\right)\right)=0 \)

erhält man, dass der maximale Durchhang bei x = 250 ist, und durch die Lösung der Gleichung

\( \frac{100}{500} \cdot 250-\left(t \cdot 250^{2}+(0.2-500 t) \cdot 250\right)=50 \)

erhält man den Wert für t.