Inklusion-Exklusions-Prinzip mit genau s Eigenschaften

Question

Ich versuche die Verallgemeinerung des Inklusion-Exklusions-Prinzip mit genau s Eigenschaften zu verstehen. Dazu schau ich mir ein Beispiel an und zwar: Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass genau s Personen (von insgesamt n Personen) ihren Mantel zurückbekommen (die ihre Mäntel vorher abgegebenen haben zufällig wieder ausgegeben werden)?

Ich hab nun gefunden, dass die Anzahl, dass genau s Personen ihren Mantel zurück bekommen mit der folgenden Summe berechnet wird: $$\sum\limits_{t=s}^{n}(-1)^{t-s} \binom{t}{s}\binom{n}{t}(n-t)!$$

Die $$\binom{n}{t}(n-t)!$$ sind doch die Derangements. Aber wie kann ich hier $$\binom{t}{s}$$ (also die Koeffizienten) verstehen und die Interpretation der Koeffizienten  in dem Fallbeispiel.

Vielen Dank im Voraus