Polarkoordinaten der kinetischen Energie

Question

Ein Teilchen bewegt sich in einer Ebene, entlang einer Kurve. Die Position \(P\) des Teilchens zum Zeitpunkt \(t\) ist $$P(t) =\begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}$$Die kinetische Energie \(E\) ist $$E(t) = \frac m2 (P'(t))^2$$wobei \(m\) die Masse ist und \((P'(t))^2\) das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors \(P'(t) = (x'(t),\,y'(t))^⊤\) mit sich selbst ist. Man drücke die kinetische Energie mit Polarkoordinaten (\(r\), \(\varphi\)) aus.

Gesucht ist also eine Formel \(E(t)=f(\dots)\) $$E(t) = f(r(t),\,\varphi(t),\,r'(t),\,\varphi'(t))$$

Answer 1

hallo

setze einfach x(t)=r(t)*cos(φ(t), y=r(t)*sin(φ(t)

und differenziere nach t

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

In Polarkoordinaten gilt:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad\implies\quad\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\binom{\dot r\cos\varphi-r\dot\varphi\sin\varphi}{\dot r\sin\varphi+r\dot\varphi\cos\varphi}\quad\implies$$$$v^2=\vec v^2=(\dot r\cos\varphi-r\dot\varphi\sin\varphi)^2+(\dot r\sin\varphi+r\dot\varphi\cos\varphi)^2$$$$\phantom{v^2}=(\dot r^2\cos^2\varphi-2r\dot r\dot\varphi\sin\varphi\cos\varphi+r^2\dot\varphi^2\sin^2\varphi)+(\dot r^2\sin^2\varphi+2r\dot r\dot\varphi\sin\varphi\cos\varphi+r^2\dot\varphi^2\cos^2\varphi)$$$$\phantom{v^2}=\dot r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)+r^2\dot\varphi^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)$$$$\phantom{v^2}=\dot r^2+r^2\dot\varphi^2$$Damit lautet die kinetische Energie in Polarkoordinaten:$$E=\frac12mv^2=\frac12m\left(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2\right)$$