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Aufgabe: Grenzwert der Folge bestimmen


Problem/Ansatz:Wie kommt man hier auf  dScreenshot 2022-04-24 010029.png

Text erkannt:

2.1. Verwende z.B. das Wurzelkriterium. Wegen limnnn=1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 gilt
11+nnn=11+nnnn1. \sqrt[n]{\left|\frac{1}{1+n \cdot \sqrt{n}}\right|}=\frac{1}{\sqrt[n]{1+n \cdot \sqrt{n}}} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 1 .

en den Grenzwert 1.Ein zusätzlicher Zwischenschritt wäre nützlich.

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Man hatan : =2n2n1+nnnnn= : bna_n:=\sqrt[n]{2n^2}\geq \sqrt[n]{1+n\sqrt{n}}\geq \sqrt[n]{n}=:b_nNun ist liman=lim2nlimnnlimnn=111=1\lim a_n=\lim\sqrt[n]{2}\cdot \lim \sqrt[n]{n}\cdot \lim\sqrt[n]{n}=1\cdot 1\cdot 1=1

und limbn=1\lim b_n=1. Nach dem Sandwich-Lemma (Quetsch-Lemma)  folgt die

Behauptung.

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