Aufgabe:
Hallo!
Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich richtig abgeleitet habe und eventuell auch meine Fehler korrigieren?
b) t⟼((t2−1t2−1(1−t)⋅t) \quad t \longmapsto\left(\begin{array}{l}\left(\frac{t^{2}-1}{\sqrt{t^{2}-1}}\right. \\ (1-t) \cdot \sqrt{t}\end{array}\right) t⟼((t2−1t2−1(1−t)⋅t)f(t)=2t f(t)=2 t f(t)=2tf(t)=t2−1=(t2−1)−12=−12(t2−1)−32=−12(t2−1)3 f(t)=\sqrt{t^{2}-1}=\left(t^{2}-1\right)^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\left(t^{2}-1\right)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2} \sqrt{\left(t^{2}-1\right)^{3}} f(t)=t2−1=(t2−1)−21=−21(t2−1)−23=−21(t2−1)3f(t)=(1−t)⋅t=−1⋅t=(1−t)⋅(−12)t−12 f(t)=(1-t) \cdot \sqrt{t}=-1 \cdot \sqrt{t}=(1-t) \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) t^{-\frac{1}{2}} f(t)=(1−t)⋅t=−1⋅t=(1−t)⋅(−21)t−21=−t+(1−t)⋅(−12)⋅(1t)3 =-\sqrt{t}+(1-t) \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{1}{t}\right)^{3}} =−t+(1−t)⋅(−21)⋅(t1)3
c)x↦(xe−x21+x2)= x \mapsto\left(\frac{x e^{-x^{2}}}{1+x^{2}}\right)= x↦(1+x2xe−x2)=f1(x)=x⋅e−x2→f′(x)=e−x2⋅−2x⋅e−x2 f_{1}(x)=x \cdot e^{-x^{2}} \rightarrow f^{\prime}(x)=e^{-x^{2}} \cdot-2 x \cdot e^{-x^{2}} f1(x)=x⋅e−x2→f′(x)=e−x2⋅−2x⋅e−x2f2(x)=x1+x2→f′(x)=1⋅(1+x2)−x⋅(2x)(1+x2)2=1+x2−2x21+2x2+x4 f_{2}(x)=\frac{x}{1+x^{2}} \rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot\left(1+x^{2}\right)-x \cdot(2 x)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{1+x^{2}-2 x^{2}}{1+2 x^{2}+x^{4}} f2(x)=1+x2x→f′(x)=(1+x2)21⋅(1+x2)−x⋅(2x)=1+2x2+x41+x2−2x2
d)
f2(x)=(sin2x)1x2+1⇒f2′(x)=1⋅cos(2x)⋅2⋅(x2+1)−sin2x⋅2(x2+1)2 f_{2}(x)=\frac{(\sin 2 x)^{1}}{x^{2}+1} \Rightarrow f_{2}^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot \cos (2 x) \cdot 2 \cdot\left(x^{2}+1\right)-\sin 2 x \cdot 2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} f2(x)=x2+1(sin2x)1⇒f2′(x)=(x2+1)21⋅cos(2x)⋅2⋅(x2+1)−sin2x⋅2=2cos(2x)⋅(x2+1)−2sin(2x)x4+2x2+1 =\frac{2 \cos (2 x) \cdot\left(x^{2}+1\right)-2 \sin (2 x)}{x^{4}+2 x^{2}+1} =x4+2x2+12cos(2x)⋅(x2+1)−2sin(2x)
l) x→(−x+1xx⋅sin(x)cos(x)) x \rightarrow\left(\begin{array}{l}\frac{-\frac{x+1}{x}}{x \cdot \sin (x)} \cos (x)\end{array}\right) x→(x⋅sin(x)−xx+1cos(x))→f1′(x)=(x+1x)12=(x+1)12x12=12(x+1)−12⋅x12−(x+1)12⋅12x−12(x12)2 \rightarrow f_{1}^{\prime}(x)=\left(\frac{x+1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}-(x+1)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}} →f1′(x)=(xx+1)21=x21(x+1)21=(x21)221(x+1)−21⋅x21−(x+1)21⋅21x−21f2(x)=x⋅sin(x)cos(x)→f2′(x)=cos(x)⋅cos(x)+x⋅sin(x)⋅(−sin(x)) f_{2}(x)=x \cdot \sin (x) \cos (x) \rightarrow f_{2}^{\prime}(x)=\cos (x) \cdot \cos (x)+x \cdot \sin (x) \cdot(-\sin (x)) f2(x)=x⋅sin(x)cos(x)→f2′(x)=cos(x)⋅cos(x)+x⋅sin(x)⋅(−sin(x))=cos2(x)−xsin2(x) =\cos ^{2}(x)-x \sin ^{2}(x) =cos2(x)−xsin2(x)
Könntest du mal die Originalaufgaben mitteilen?
Du hast das sehr merkwürdig notiert, scheinst aber
(ungefähr) das Richtige zu meinen.
Bei b) etwa:
f2(t)=(1−t)⋅tf_2(t)=(1-t) \cdot \sqrt{t} f2(t)=(1−t)⋅t
==> f2′(t)=−1⋅t+(1−t)⋅(12)t−12f_2'(t)=-1 \cdot \sqrt{t}+(1-t) \cdot\left(\frac{1}{2}\right) t^{-\frac{1}{2}} f2′(t)=−1⋅t+(1−t)⋅(21)t−21
=−1⋅t+12t−12−t⋅(12)t−12 =-1 \cdot \sqrt{t}+\frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}}-t \cdot\left(\frac{1}{2}\right) t^{-\frac{1}{2}} =−1⋅t+21t−21−t⋅(21)t−21
=−t12+12t−12−12t12 =-t^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2}} =−t21+21t−21−21t21
=12t−12−32t12 =\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}-\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}} =21t−21−23t21
=12(t−12−3t12) =\frac{1}{2} (t^{-\frac{1}{2}}-3 t^{\frac{1}{2}}) =21(t−21−3t21)
Vielen vielen Dank!! Und die restlichen Ableitungen passen auch, oder?
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