Anfangswertproblem mittels Wärmeleitungsgleichung lösen

Question

Aufgabe:

Man soll ein Anfangswertproblem mittels der Wärmeleitungsgleichung lösen

Problem/Ansatz:

Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung ist im Bild sowie die Lösungsfunktion u(x, t). Meine Frage ist, dass ich die Funktion phi ja schwer integrieren kann, da das Integral von e^(y²) nicht existiert. Der Prof. meint aber, dass das Integral der Gaußfunktion hier existiert, weil sie exponentiell abfallend ist.

Text erkannt:

Definition 3.28. Die Funktion
$\Phi(x, t):=\frac{1}{(4 \pi t)^{\frac{n}{2}}} e^{-\frac{|x|^{2}}{4 t}} \quad t>0, x \in \mathbb{R}^{n}$
heißt Grundlösung der n-dimensionalen Wärmeleitungsgleichung.
Die Bedeutung der Grundlösungen wird wieder in späteren Kapiteln klar werden: Wir zitieren wieder einen Satz, der später bewiesen wird:

Satz 3.29. Sei $u_{0}$ eine stetige Funktion auf $\mathbb{R}^{n}$ mit kompaktem Träger und $\Phi(x, t)$ die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung. Dann löst
$u(x, t)=\int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \Phi(x-y, t) u_{0}(y) d y \quad \forall x \in \mathbb{R}^{n}, t>0$
das Anfangswertproblem
$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} &=\Delta u, & \text { in } \mathbb{R}^{n} \times(0, \infty) \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \quad x \in \mathbb{R}^{n} \end{aligned}$

Answer 1

Hallo

die Prof hat recht $\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=1/√π$

das allgemeine Integral gibt in vielen Rechnern als "error Funktion" erf(x)

notfalls in Wolfram alpha

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Du kannst $I\coloneqq\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx$ relativ leicht bestimmen, wenn du nicht $I$, sondern $$I^2=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy=\int\limits_{x=-\infty}^\infty\;\,\int\limits_{y=-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$mit Hilfe von Polarkoordinaten bestimmst$$I^2=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{r=0}^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^\infty e^{-r^2}r\,dr=2\pi\cdot\left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_{r=0}^\infty=2\pi\cdot\frac12=\pi$$Daher ist$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$$