Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche(n) zwischen dem Graphen von \( f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+10 \) und der Tangente in seinem Hochpunkt.
Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch, weil die Exponenten gerade Zahlen sind.
Ich berechne nun den Funktionswert an der Stelle \(x=0\):
\( f(0)=10 \)
Nun den Funktionswert an der Stelle \(x=1\):
\( f(1)=\frac{1}{4}-2 +10=8,25 \)
Durch die Achsensymmetrie gilt auch \( f(-1)=8,25 \)
Somit liegt der Hochpunkt von \(f\) an der Stelle \(x=0\)
H\((0|10)\)
Überprüfung mittels Ableitung:
\( f'(x)=x^3-4x \)
\( x^3-4x=0 \) Satz vom Nullprodukt :
\( x(x^2-4)=0 \)
\( x_1=0 \) \( f(0)=10 \)
Die 2. Ableitung ist notwendig, um die Art des Extremwertes zu bestimmen:
\( f''(x)=3x^2-4 \)
\( f''(0)=-4<0 \) → Maximum
\( x^2=4 \)
\(x_2=2\) \( f(2)=6 \)
\(x_3=-2\) \( f(-2)=6 \)
\( f''(2)=8>0 \) → Minimum
Nun ist eindeutig, dass der Hochpunkt an der Stelle \(x=0\) liegt.
Die Tangentensteigung durch Hochpunkte ( ebenso auch Tiefpunkte und Sattelpunkte) ist \(m=0\)
H\((0|10)\) führt zur Tangente \(y=10\)
Für die Flächenberechnung werden nun die Schnittpunkte der Tangente \(y=10\) mit \(f\) benötigt.
Einen Schnittpunkt kennen wir schon. Es ist H\((0|10)\)
Weitere Schnittpunkte:
\( 10=\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+10 \)
\( \frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}=0|\cdot 4 \)
\( x^{4}-8 x^{2}=0 \) Wieder Satz vom Nullprodukt:
\( x^{2}(x^2-8 )=0 \)
Die Lösung(en) von\( x^{2}=0 \) ist nun schon als Hochpunkt bekannt.
\(x^2=8\)
\(x_1=\sqrt{8}= \sqrt{2\cdot 4}=2\sqrt{2}\)
\(x_2=-2\sqrt{2}\) (Symmetrie)
Zur Berechnung der Fläche(n) ein Bild der Graphen:
Die Flächen \(\blue{A_1}\) und \(\blue{A_2}\) haben gleiche Größe.
Das Rechteck A,B,C,D hat die Größe \(\red{A_3}\)
\(\red{A_3}=2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot 10 =40\cdot \sqrt{2}\)
\(\red{A_3}-\blue{A_1}-\blue{A_2}=2\cdot\int\limits_{0}^{2\cdot \sqrt{2}}(\frac{1}{4} x^{4}-2 x^{2}+10)dx\\=2\cdot [\frac{1}{20}x^5-\frac{2}{3}x^3+10x]_{0}^{2\cdot \sqrt{2}}\\=2\cdot [\frac{32}{20}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 2^{\frac{3}{2}}+20\cdot \sqrt{2} ]-0\\=\frac{16}{5}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-\frac{32}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+40\cdot \sqrt{2}\)
\( \red{40\cdot \sqrt{2}}-(\blue{A_1}+\blue{A_2})=\frac{16}{5}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-\frac{32}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}}+40\cdot \sqrt{2} \)
\( -(\blue{A_1}+\blue{A_2})=\frac{16}{5}\cdot 2^{\frac{5}{2}}-\frac{32}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}} \)
\((\blue{A_1}+\blue{A_2})=\frac{32}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}}-\frac{16}{5}\cdot 2^{\frac{5}{2}}\)
