Untersuchen Sie, ob die folgende Funktion Riemann-integrierbar ist

Question

Hallo, Ich würde gerne meine Lösung dieser Aufgabe abgleichen:

Gegeben seien $M= \{\frac{1}{m}:m \in \N \}$ und $f: [0,1] \rightarrow \R$ mit

$$f(x) = \begin{cases} 1 &\text{, }x \in [0,1] \backslash M, \\ 2-x &\text{, } x \in M. \end{cases}$$

Untersuchen Sie, ob f Riemann-integrierbar auf [0; 1] ist, und berechnen Sie im Falle der
Riemann-Integrierbarkeit das Integral $$\int_0^1 f(x)dx.$$

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Hallo

abgleichen kann man ja nur wenn man deine Lösung zum Vergleichen hat, im besten Fall kann man dann ja einfach richtig sagen.Die Aufgabe war vor kurzem hier im forum, warst du das? sonst such danach

lul

Answer 1

Eine beschränkte Funktion ist genau dann Riemann-integrierbar wenn die Menge der Punkte in denen sie unstetig ist eine Lebesgue-Nullmenge ist.

Dabei heißt eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb{R}$  Lebesgue-Nullmenge wenn zu jedem $\varepsilon >0$ abzählbar viele Intervalle $(I_i)_{i\in\mathbb{N}}$ existieren, s.d. $M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i$ und $\sum_{i=0}^{\infty}\vert I_i\vert<\varepsilon$ ist.

Z.B. ist jede abzählbare Menge eine Nullmenge, denn sei $M=\{t_i \ : \ i\in\mathbb{N}\}$ und $I_i = [t_i-\frac\varepsilon {2^i},t_i+\frac\varepsilon {2^i}]$. Dann ist $M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i$ und $\sum_{i\in \mathbb{N}}\vert I_i\vert= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{\varepsilon }{2^{i-1}}=4\varepsilon$.

Deine Funktion ist beschränkt und hat nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen. D.h. sie ist Riemann-integrierbar.