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Aufgabe:

Entscheiden Sie jeweils, ob die angegebene Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W linear (ein Vektorraumhomomorphismus) ist.

\( K:=\mathbb{F}_{5}, V:=\mathbb{F}_{5}, W:=\mathbb{F}_{5}, \varphi: x \mapsto x^{5} \)



\( K:=\mathbb{R}, V:=\operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), W:=\operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \varphi: f \mapsto(1+\sqrt{5}) f \)

\( K:=\mathbb{R}, V:=\mathbb{R}^{1 \times 2}, W:=\mathbb{R}, \varphi:\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto x_{1} \cdot x_{2} \)

\( K:=\mathbb{R}, V:=K^{2 \times 3}, W:=K^{1 \times 3}, \varphi: M \mapsto(-2,4) \cdot M \)


\( K:=\mathbb{Q}, V:=\mathbb{Q}, W:=\mathbb{Q}, \varphi: x \mapsto 2 x-1 \)


Problem/Ansatz:

ich wollte fragen, ob die obigen Fragen richtig bzw. falsch sind, und wenn möglich mit einer Erklärung bzw. Beispiel.

mfg

ulong

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Nr. 5 ist sicher keiner, da f(0)=0 nicht erfüllt ist.

Ne 1. Ist die Identität auf F5 also linear

Nr 2 ist auch einer. ZB gilt

φ(f+g)=φ(f)+φ(g)

Nr 3 vergleiche φ(6;6) mit 3*φ(2;2)

von 257 k 🚀

Hallo,

heißt das dann auch, dass jeder Homomorphismus einen Kern haben muss, da ja hier argumentiert wird, dass es kein v gibt, sodass das Bild 0 ist?

Bei jedem hom ist f(0)=0.

Bei der 3 hast du dann einmal phi(3*v) und 3*phi(v), was ungleich ist, da phi(6,6) = 36 ist und 3*phi(2,2) = 12

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Die Fragen kommen mir verdächtig bekannt vor. Fast, als wäre ich im gleichen Studiengang an der gleichen Uni... Du bist nicht zufälligerweise an der RWTH?


1. nicht linear, da quintisch. Eine quintische Abbildung ist nicht linear

2. Ja

3. Nein \(\phi(x+x',y+y')\neq \phi(x,y)+\phi(x',y')\)

4. Ja

5. Nein, da keine Nullabbildung

von

Nr 1 ist auf F5 !

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