Die Markov-Ungleichung beweisen

Question

Aufgabe:

Wir nehmen an, dass \( a_{1}, \ldots, a_{n}>0 \) positive reelle Zahlen sind mit Mittelwert

\(m=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} .\)

Zeigen Sie, dass für jede reelle Zahl \( t>1 \) gilt:

\(\left|\left\{i \in\{1, \ldots, n\}: a_{i} \geq t m\right\}\right| \leq \frac{n}{t} .\)

Anmerkung: Diese Ungleichung ist als "Markov-Ungleichung" bekannt.

Problem/Ansatz:

Ich habe testweise mir mal eine Liste mit n=6 Zahlen gemacht also bspw.: 7,9,3,4,8,7

beim Mittelwert komme ich auf m=1/6*38 = 6,33. Soweit so Grundschulwissen aber viel weiter komme ich jetzt leider nicht bei dem was die Aufgabe überhaupt von mir möchte.

Answer 1

Sei \( X: \Omega \rightarrow W \subseteq \mathbb{R}_{>0} \) eine positive diskrete Zufallsvariable. Dann gilt für alle \( a \in \mathbb{R}_{>0} \)
\( \begin{aligned} a \mathbf{P}(X \geqslant a) &=\sum \limits_{a \leqslant x \in W} a \mathbf{P}(X=x) \\ & \leqslant \sum \limits_{a \leqslant x \in W} x\mathbf{P}(X=x) \\ & \leqslant \sum \limits_{x \in W} x \mathbf{P}(X=x)=E[X] . \end{aligned} \)
In deinem Spezielfall wählen wir
\( \Omega=\left\{a_{1}, \ldots, a_{n}\right\}, \quad \forall \omega \in \Omega: \mathbf{P}(\omega)=\frac{1}{n} . \)
Ist \( X \) nun die Zufallsvariable, welche uns den Wert ausgibt, den wir nach einmaligem zufälligen auswählen aus der Menge erhalten, so gilt
\(\begin{aligned} E[X]=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \mathbf{P}\left(X=a_{i}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \frac{1}{n}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}=m\end{aligned} \)
Nun ergibt sich mit der soeben hergeleiteten Ungleichung:
\( \begin{aligned} \frac{\left|\left\{i \in\{1, \ldots, n\} \mid a_{i} \geqslant t m\right\}\right|}{n} &=\frac{\left|\left\{a_{i} \in\{1, \ldots, n\} \mid a_{i} \geqslant t m\right\}\right|}{n} \\ &=\frac{\left|\left\{a_{i} \in\{1, \ldots, n\} \mid a_{i} \geqslant t E[X]\right\}\right|}{n} \\ &=P(X \geqslant t E[X]) \\ & \leqslant \frac{E[X]}{t E[X]}=\frac{1}{t} \end{aligned} \)

Answer 2

Hallo,

eventuell ist die erste Lösung im Kontext der Aufgabenstellung etwas weit ausgeholt.

Wenn

$$k:=|\{i\mid a_i \geq tm\}|$$

Dann

$$m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i \geq \frac{1}{n}ktm \Rightarrow k \leq \frac{n}{t}$$

Gruß Mathhilf

Comments

Beide Antworten haben mir sehr geholfen, durfte ruhig etwas komplexer sein. Vielen Dank.