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Aufgabe:

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Menge aller Punkte, in denen ¨
sie stetig sind

1. \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)= \begin{cases}\frac{e^{x}-1}{x^{2}+(y-1)^{2}} & \text { falls } \quad(x, y) \in] 0, \infty[\times \mathbb{R} \\ 0 & \text { falls }(x, y) \in]-\infty, 0] \times \mathbb{R}\end{cases} \)

2. \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}}{|x|+y^{2}}+3 & \text { falls }(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \\ 3 & \text { für } x=y=0\end{cases} \)


Problem/Ansatz:

Hallo alle,
Folgende Aufgabe ist gegeben Würde hier um einen Lösungsweg bitten, da ich dies noch nicht wirklich verstehe!
Vielen Dank im Voraus

vor von

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

i) nur x=0, y=1  ist kritisch überall sonst ist die Fkt einfach als Komposition steiger Funktionen kritisch. dort benutze L'Hopital

ii) hier am besten in der Umgebung von (0,0) x=rcos(t), y=rsin(t) benutzen r->0 unabhängig von t

Gruß lul

vor von 80 k 🚀

Wie bist du bei i) darauf gekommen, dass sie bei x=0, y=1 kritisch ist? Und wo genau soll man jetzt L'Hospital anwenden?

Hallo

bei y=0 x=0  ist der Zähler 0, der Nenner ungleich 0 also f=0

bei x=0 y=1 sind Zähler und Nenner 0 . setze y=1 und dann L'Hopital

In beiden von dir angesprochenen Fällen gibt es weder Zähler noch Nenner.

Hallo gasthj2166

was genau meinst du?

lul

Danke lul, ich verstehe es denke ich halbwegs. Da Zähler und Nenner mit Einsetzen von x=0, y=1 => "0/0" ergeben, wendet man L'Hospital an, also leitet ab, bis man mit Einsetzen der beiden Werte nicht mehr "0/0" erhält oder? Ist das Ergebnis dann die Menge aller Punkte, in denen die Funktion stetig ist?

was genau meinst du?

Im Falle x=0 ist die Funktion durch die zweite Zeile definiert und dort taucht kein Bruch auf.

ich hab nirgends gesagt, den Punkt 0 irgendwo einzusetzen, das ist Haarspalterei!

lul

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