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Aufgabe:

Betrachten Sie den Unterraum
U = {(x1,...,x5) ∈ ℝ5 | Mit
x1 +3x2 +x4 −2x5 = 0
x4 −x5 = 0
x2 −x3 +x4 −x5 = 0}

des ℝ5. Finden Sie zwei Vektoren, die U aufspannen.

Problem/Ansatz:

Wie findet man solche Vektoren? Ich habe versucht das Gleichungssystem zu lösen und bin auf das Ergebnis
x1 = -2x5
x2 = x3
x3 = x3
x4 = x5
x5 = x5

gekommen. Soll man anhand dieser Ergebnisse einen Vektor konstruieren? Oder wie genau geht man hier heran?

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Du hast bereits berechnet, dass x3=x2x_3=x_2 und x5=x4x_5=x_4 ist.
Setze diese Werte in die erste Gleichung ein und erhalte x4=x1+3x2x_4=x_1+3x_2.
Ein Lösungsvektor vR5v\in\mathbb R^5 ist damit von der Gestaltv=(x1x2x3x4x5)=(x1x2x2x1+3x2x1+3x2)=x1(10011)+x2(01133).v=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_2\\x_1+3x_2\\x_1+3x_2\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\\3\\3\end{pmatrix}.An dieser Darstellung sind zwei Vektoren, die UU aufspannen, direkt ablesbar.

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Die zwei Vektoren die U aufspannen sind also v_1 = (1 0 0 1 1) und v_2 = ( 0 1 1 3 3), denn, wenn man z.B bei v_1 für x_1=1, für x_2=0, für x_3 = 0, usw in das LGS einsetzt man am auf der anderen Seite der Gleichung wieder 0 rausbekommt richtig?

Nicht ganz. x1x_1 und x2x_2 sind hier frei wählbar; x3x_3, x4x_4 und x5x_5 stehen dann fest.
Die Basisvektoren sind nicht eindeutig bestimmt. Aber jeder Lösungsvektor vv lässt sich als Linearkombination von v1v_1 und v2v_2 darstellen. Damit spannen die beiden Vektoren den Unterraum auf.

Könntest du vielleicht einen Lösungsvektor nennen, damit ich es zu 100% richtig verstehe?

Mit x1=1x_1=1 und x2=0x_2=0 ist (1 0 0 1 1)(1\ 0\ 0\ 1\ 1)^\top ein Lösungsvektor.
Mit x1=0x_1=0 und x2=1x_2=1 ist (0 1 1 3 3)(0\ 1\ 1\ 3\ 3)^\top ein Lösungsvektor.
Mit x1=1x_1=1 und x2=1x_2=1 ist (1 1 1 4 4)(1\ 1\ 1\ 4\ 4)^\top ein Lösungsvektor.
Allgemein ist jeder Vektor x1v1+x2v2x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2 mit x1,x2Rx_1,x_2\in\mathbb R ein Lösungsvektor.

Ok, habs verstanden. Dankeschön!

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