Fläche Dreieck Vektoren berechnen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die Vektoren \( \vec{a} \) mit der Länge \( |\vec{a}|=5 \) und \( \vec{b} \) mit der Länge \( |\vec{b}|=8 \). Die Vektoren schließen einen Winkel \( \alpha=150^{\circ} \) ein.
Gesucht ist die Fläche des Dreiecks, das durch die Vektoren \( \vec{b} \) und \( 3 \vec{a}+\vec{b} \) aufgespannt wird.
\( A_{\text {Dreieck }}= \)

Könnte mir jemand dabei helfen? Lösung + Lösungsweg wäre ideal.

Answer 1

Aloha :)

Wenn zwei Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\) vom gleichen Ankerpunkt ausgehen, spannen sie ein Parallelogramm auf. Die Fläche diese Parallelogramms ist gleich dem Betrag des Vektorproduktes. Die Fläche des Dreiecks mit den Seiten \(\vec x\) und \(\vec y\) ist nur halb so groß:$$F_{\Diamond}=\|\vec x\times\vec y\|\quad;\quad F_{\triangle}=\frac12\cdot\|\vec x\times\vec y\|$$

Wir setzen \((\vec x=3\vec a+\vec b)\) und \((\vec y=\vec b)\) ein:$$F_{\triangle}=\frac12\cdot\|(3\vec a+b)\times\vec b\|=\frac12\cdot\|3\vec a\times\vec b+\underbrace{\vec b\times\vec b}_{=\vec 0}\|=\frac32\cdot\|\vec a\times\vec b\|$$$$\phantom{F_{\triangle}}=\frac32\cdot\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|\cdot\sin\angle(\vec a\,;\,\vec b)=\frac32\cdot5\cdot8\cdot\sin(150^\circ)=30$$

Answer 2

A = 1/2·(3·5)·(8)·SIN(150°) = 30

Hintergrundwissen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksfl%C3%A4che#Mit_Winkel