Erklärung wie man eine Abbildungsmatrix anhand von folgendem Beispiel berechnet.

Question

Text erkannt:

Für welche \( t \in \mathbb{R} \) existiert eine lineare Abbildung \( \varphi_{t}: \mathbb{R}^{3 \times 1} \rightarrow \mathbb{R}^{3 \times 1} \) mit
Bestimmen Sie für diese \( t \) die Matrix \( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\left(\varphi_{t}\right) \) bezüglich der Standardbasis \( \mathcal{B} \) von \( \mathbb{R}^{3 \times 1} \).

Problem/Ansatz:

könnte mir jemand eine Schritt-für-Schritt-Anleitung geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann ?

Answer 1

Aloha :)

Wir nennen die Abbildungsmatrix einfach nur \(M\), lassen also die ganze Dekoration weg. Wir wissen aus der Aufgabenstellung, wie die Matrix \(M\) auf drei Vektoren wirkt:$$M\left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\2t-1\\-1\end{array}\right)\;;\;M\left(\begin{array}{r}1\\t\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1\\1\\t\end{array}\right)\;;\;M\left(\begin{array}{r}0\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}3\\-2\\3t+1\end{array}\right)$$

Diese drei Gleichungen fassen wir in einer Matrix-Gleichung zusammen:$$M\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 0\\1 & t & 1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3\\2t-1 & 1 & -2\\-1 & t & 3t+1\end{array}\right)$$

Durch Rechts-Multiplikation der Inversen (sofern sie existiert), erhalten wir:$$M=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3\\2t-1 & 1 & -2\\-1 & t & 3t+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 0\\1 & t & 1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}$$

Wir suchen nun zuerst diejenigen \(t\), für die die Inverse existiert. Dazu muss die Determinante ungleich Null sein:$$0\ne\left|\begin{array}{r}1 & 1 & 0\\1 & t & 1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right|\stackrel{Z_2-=Z_3}{=}\left|\begin{array}{r}1 & 1 & 0\\2 & t & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right|=t-2\quad\implies\quad t\ne2$$

Die Abbildungsmatrix \(M\) exisitiert also für \(t\ne2\). Die explizite Berechnung der Inversen führe ich hier nicht vor, um dir den Spaß daran nicht zu nehmen. Das Ergebnis ist:$$M=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3\\2t-1 & 1 & -2\\-1 & t & 3t+1\end{array}\right)\cdot\frac{1}{t-2}\left(\begin{array}{rrr}t & -1 & 1\\-2 & 1 & -1\\t & -1 & t-1\end{array}\right)$$$$M=\frac{1}{t-2}\left(\begin{array}{rrr}4t+2 & -5 & 3t-1\\2t^2-3t-2 & 4-2t & 0\\3t^2-2t & -2t &3t^2-3t-2\end{array}\right)$$

Comments

Hallo,

danke für die tolle Antwort, aber mir ist noch nicht ganz klar, warum du bei der dritten Gleichung die Inverse an die Matrix multiplizierst ?

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In der Zeile darüber steht die Matrix ja noch rechts von \(M\). Um das \(M\) alleine auf der linken Seite zu haben, muss ich von rechts auf beiden Seiten der Gleichung die inverse Matrix ranmultiplizieren.

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auf der linken Seite könnte man dann doch auch M((100), (010), (001)) schreiben, falls ich das richtig verstanden habe, dass wir links durch das multiplizieren der Inversen quasi die Standardbasis herausbekommen wollen.