Zeige: det(Ak) = (detA)k

Question

Aufgabe:

Eine Matrix A∈ℝ^(n*n) heißt nilpotent, falls A^k=0 für ein k ∈ℕ ist, und idempotent, falls A²=A ist. Zeige:

(a) det(A1∈∈∈^k)=(det A)^k für alle k∈ℕ

(b) A nilpotent ⇒ detA = 0

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Danke

Comments

(a) det(A1∈∈∈^k)=(det A)^k für alle k∈ℕ

Das kann doch keiner verstehen !
Warum korrigierst du es nicht?

Answer 1

Wenn ihr schon hattet det(A*B)=det(A)*det(B)

ist das ja einfach:

(a) mit vollst. Induktion über k.

(b)  A^k = 0 ==>   det ( A^k) = 0

              ==> (mit (a)  )    det(A) ^k = 0

            ==>   det(A)=0.