Komponentenfunktionen und Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } x=y=0 \\ \frac{2 x^{3} y}{x^{4}+y^{4}} & \text { sonst. } \end{array}\right.$

(a) Bestimmen Sie alle Punkte $x \in \mathbb{R}$ bzw. $y \in \mathbb{R}$, in denen die Komponentenfunktionen $k_{1}, k_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $k_{1}(x):=f(x, 0) \quad$ und $\quad k_{2}(y):=f(0, y)$
stetig sind.

(b) Untersuchen Sie die Funktion $f$ in allen Punkten $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ auf Stetigkeit.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann jemand diese Aufgabe mir erklären?

Comments

Was von der Aufgabenstellung willst Du denn erklärt haben?

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Der Lösungsweg wäre hilfreich

Answer 1

f(x,0) = 0 für alle x∈ℝ und auch f(0,y)=0.

Also sind die Komponentenfunktionen als konstante Funktionen

überall stetig.

Answer 2

Zu b): Für die Funktion $k(x):=f(x,x)$ gilt: $k(0)=0$ und sonst $k(x)=2$. Diese Funktion ist unstetig im Nullpunkt und deshalb ist auch f im Nullpunkt unstetig.

In allen anderen Punkten des R² ist f stetig, weil es die stetige Verknüpfung von elementaren stetigen Funktionen ist.