Eindeutigkeit des Grenzwerts

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass Grenzwerte eindeutig sind. Nehmen Sie dazu an, eine Folge (an) ⊂ M in einem
metrischen Raum M hätte zwei Grenzwerte x und y und zeigen Sie, dass dann x = y folgen muss.
Bemerkung: Intuitiv ist das natürlich klar, aber es lohnt sich, auch formal einmal zu überprüfen, ob diese
Intuition überhaupt stimmt! Es gibt auch Konvergenzbegriffe in weniger strukturierten Räumen, in welchen
die konstante Folge (1, 1, 1, 1, 1, . . .) gegen 42 konvergiert. Vor solchen Beispielen sollten Sie ganz schnell
weglaufen!

Problem/Ansatz:

Hey, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich komme an dieser leider nicht weiter. Davon mal abgesehen, verwirrt mich die Bemerkung nur noch mehr

Answer 1

Nehmen Sie dazu an, eine Folge (an) ⊂ M in einem
metrischen Raum M hätte zwei Grenzwerte x und y

==> d(x,y) > 0 . Und: Zu jedem ε>0 gibt es ein N∈ℕ

so dass für alle n>N gilt d(an,x) < ε und d(an,y)<ε.

Sei nun ε =  d(x,y) / 2 > 0 .

==>  Es gibt ein N so dass für alle n>N gilt

         d(an,x) < d(x,y) / 2    und d( an,y)< d(x,y)/2 .

Sei nun n so ein n>N, also gilt

         d(an,x) < d(x,y) / 2    und d( an,y)< d(x,y)/2

==> d(x , an) < d(x,y) / 2   und d( an,y)< d(x,y)/2 .

==> d(x , an) +  d( an,y) <  d(x,y)

Mit der Dreiecksungl folgt aber

       d(x , an) +  d( an,y)     ≥ d(x,y)    Widerspruch !

Also x=y.

Answer 2

Sei \((X,d)\) ein metrischer Raum.

Seien \(a\) und \(b\) Grenzwerte der Folge \((x_n)\). Dann gibt es zu jedem

\(\epsilon>0\) ein \(M\in \mathbb{N}\) mit \(d(x_n,a)\lt \epsilon/2\)

für alle nat. \(n\geq M\) und  ein \(N \in \mathbb{N}\) mit \(d(x_n,b)\lt \epsilon/2\)

für alle nat. \(n\geq N\). Sei \(K=\max(M,N)\). Dann gilt für \(n\geq K\):

\(d(a,b)\leq d(a,x_n)+d(x_n,b)\lt \epsilon/2+\epsilon /2=\epsilon\).

Da dies für beliebiges \(\epsilon > 0\) gilt, folgt \(d(a,b)=0\), d.h. \(a=b\).

In allgemeineren Räumen gilt die Eindeutigkeit des Limes,

wenn man die Hausdorffsche Trennungseigenschaft voraussetzt.