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Betrachten Sie die nachstehende Folge von Vektoren des \( \mathbb{R} \)-Vektorraums \( V=\mathbb{R}^{2} \) :
\( v_{1}=(1,2), \quad v_{2}=(3,4), \quad v_{3}=(5,6), \quad \ldots, \quad v_{n}=(2 n-1,2 n), \quad \ldots \)
Schreiben Sie, für \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m \neq n \), die Vektoren \( (1,2) \) und \( (1,0) \) explizit als Linearkombinationen von \( v_{m} \) und \( v_{n} \).


Weiß jemand wie man auf Vm kommt? Muss Vm ≠ Vn sein?

von

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Beste Antwort

Für m≠n ist vm≠vn ; denn es ist ja

\(v_{n}=(2 n-1,2 n)\)   und also \(v_{m}=(2 m-1,2 m)\) 

Also brauchst du für (1,2) jedenfalls x,y mit

x*2n+y*2m = 2   bzw  x*n+y*m=1    und

x*(2n-1) + y*(2m-1) = 1

==>  x= (1-m)/(n-m) und y= (n-1)/(n-m)

z.B. Probe mit n=5 und m=3 gibt

(1,2) = -1 * v5 + 2*v3 =(-9;10) +(10;12) ✓

von 255 k 🚀

Hey, danke für deine Hilfe. Müsste ich dann  für die Aufgabe die Vektoren (1,2) und (1,0)  als Linearkombination von (2n-1, 2n) und (2m-1, 2m) zeigen? Bei mir würden da etwas komische Werte rauskommen, deshalb war ich mir unsicher.

Doch, so ist das wohl gemeint.

Hab mal was ergänzt.

Jo, darauf komme ich auch. Perfekt, danke dir.

Wie kommst du auf:

==>  x= (1-m)/(n-m) und y= (n-1)/(n-m) 

egal wie ich es drehe oder wende, ich komme auf:

x = -(n/m)/(n/m-1) und y = 1/(n/m - 1)

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Frage (d):

(d) Bestimmen Sie alle linear unabhängigen Teilmengen der Menge \( \left\{v_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \).

Antwort zu d):

Zeige, dass aus \(\{(2k-1,2k),(2l-1,2l)\}\) linear abhängig, folgt, dass \(k=l\) ist.

von 15 k

Hey, danke für deine Hilfe. Aber Ist das überhaupt gefragt bei der Aufgabe?

Nein, aber dummerweise, konnte ich bei
https://www.mathelounge.de/939693/alle-linear-unabhangige-teilmengen-bestimmen

nicht mehr antworten. Dort wurde die Frage d) gestellt

und der Moderator hat die Antwortmöglichkeit leider abgeschnitten.

Könntest du die bitte hier nochmal schreiben?

(d) Bestimmen Sie alle linear unabhängigen Teilmengen der Menge \( \left\{v_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \).

Meinte deine Antwort zu der Aufgabe (d) bzw. bezieht sich deine Antwort auf die (d)? Falls ja inwiefern hilft es mir bei der Aufgabe

Die steht doch oben:

Zeige, dass aus \(\{(2k-1,2k),(2l-1,2l)\}\) linear abhängig, folgt, dass \(k=l\) ist.


Also setze an:

\(\lambda(2k-1,2k)=\mu(2l-1,2l)\) mit \(\lambda,\mu\neq 0\) und schließe auf \(k=l\).

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