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Aufgabe

Ich habe eine Gruppe G = R \ {-1} mit der Verknüpfung g ◦ h = g * h + g + h

Ich soll jetzt zeigen das G ein Moinoid , Gruppe und das 0 das neutrale Element in G ist.


Problem/Ansatz:


Ich habe überhuapt keine Ahnung wie ich mit der Verknüpfung das beweisen soll.

Ich weiß was ich zu zeigen brauche jedoch nicht wie ich das mache.

zz. ist das

- G abgeschlossen ist

- g * h assoziativ ist

- ein neutrales Element existiert

- jedes element ein persönliches Inverses hat


Edit : Ich glaube nicht das es assoziativ ist da dort * und + enthalten ist

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Ein vielleicht nützlicher Tipp:

Man kann \(g\circ h\) auch so interpretieren:

\(g\circ h=(g+1)(h+1)-1\). Mit dieser Darstellung ist es leicht,

die Assoziativität zu untersuchen ...

Man kann sich "\(\circ\)" so vorstellen:

"beide Faktoren auf der Zahlengeraden um 1 nach rechts schieben,
multiplizieren und das Ergebnis wieder um 1 nach links schieben".

von 15 k
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Hallo,

du hast schonmal richtig aufgeschrieben, was gezeigt werden muss (Eine Gruppe ist immer auch ein Monoid). Da die Verknüpfung gegeben ist bleibt auch nichts anderes übrig, als nachzurechnen. Ich mache das hier mal exemplarisch für das neutrale Element und die Abgeschlossenheit. Für die beiden anderen Sachen gebe ich erstmal nur Hinweise.

Neutrales Element: In der Aufgabe steht schon, dass 0 das neutrale Element sein soll, also überprüfen wir ob es die nötigen Eigenschaften erfüllt. Sei dazu \(g\in G\) beliebig, dann ist $$g\circ0=g\cdot0+g+0=g\\0\circ g=0\cdot g+0+g=g$$
Damit ist 0 das neutrale Element.

Abgeschlossenheit: Seien \(g,h\in G\) (das heißt \(g,h\in\mathbb R\) und \(g,h\neq-1\)). Damit \(g\circ h\in G\) gilt müssen wir also nur zeigen, dass \(g\circ h\neq-1\) (eine reelle Zahl ist es ja auf jeden Fall).
Angenommen es wäre \(g\circ h=gh+g+h=-1\) dann können wir nach \(g\) umstellen und erhalten: $$g=\frac{-1-h}{h+1}=-1$$ Das ist natürlich ein Widerspruch, also muss \(g\circ h\neq-1\) gelten.

Assoziativität: Rechne einfach mal für \(g,h,f\in G\) sowohl \(g\circ(h\circ f)\) als auch \((g\circ h)\circ f\) aus (beachte die Klammern) und vergleiche dann die Ergebnisse.

Inverse: Das neutrale Element soll ja die 0 sein, wir müssen also zu jedem \(g\in G\) ein \(h\in G\) finden, sodass $$g\circ h=h\circ g=0$$ Rechne dazu z.B. \(g\circ h\) aus und stelle nach \(h\) um. Überprüfe dann, dass für dieses \(h\) die beiden Gleichungen gelten.

Bei weiteren Problemen helfe ich gerne weiter.
LG Dojima

von

Danke für die ausführliche Antwort erstmal, die hat sehr geholfen.

Ich habe das mit dem Assoziativitätsgesetz mal versucht und bin auf folgendes gekommen:

(g ∘ h) ∘ f = (g * h + g + h) ∘ f
              = (g*h + g + h ) + f - ( g * h + g+ h) * f
              = g*h + g + h + f - ghf - gf - hf
              = g + ( f - hf) - g * (-h - h +hf + f )


weiter komme ich nicht. Entweder es geht nicht auf und es ist nicht ass. oder ich habe einen Fehler gemacht

Hab meine Lösung nochmal geändert zu :

(g ∘ h) ∘ f = (g * h + g + h) ∘ f
=( gh + g + h ) + f + ( gh + g + h ) * f
= gh + g + h + f + ghf + gf + gh
= g( h + f ) + g ( h + hf + f + h )

Also die Verknüpfung ist tatsächlich assoziativ. In der Antwort von ermanus ist noch eine andere (elegantere und vielleicht anschaulichere) Erklärung gegeben, warum "\(\circ\)" assoziativ sein muss.

Jetzt zu dem was du probiert hast: In der zweiten Zeile sollte das "-" ein "+" sein, wenn du die dritte Zeile entsprechend abänderst stimmt das auch soweit. Jetzt ist es möglich, aber meistens sehr schwierig, den erhaltenen Term weiter umzuformen bis \(g\circ(h\circ f)\) da steht. Einfacher ist es meistens, die Gleichung von beiden Seiten anzugehen. D.h. berechne jetzt \(g\circ(h\circ f)\) und vergleiche dann mit dem was du bei \((g\circ h)\circ f\) erhalten hast.
(Hinweis: es sollte jeweils \(ghf+gf+hf+gh+g+h+f\) rauskommen)

Zu deiner geänderten Lösung: die 2. Zeile stimmt jetzt. In der 3. Zeile sollte das letzte \(gh\) ein \(hf\) sein. Wenn du es nochmal sehen willst, kann ich mal aufschreiben wie man das umformen würde um \(g\circ(h\circ f)\) zu erhalten. Wie schon gesagt ist es aber einfacher beide Seiten einzeln auszurechen.

Danke habe den Fehler mit dem gf was ein hf sein sollte gesehen. Nachdem ich den Fehler korrigiert habe kam ich zu folgendem:

die Dritte Zeile ist dann entsprechend:

gh + g + h + f + ghf + gf + hf

Und daraus folgt

g ( h + f + hf) + g ( h + hf + f )

und das führt dann wiederum zu

g ( hf + h + f ) was g ◦ ( h ◦ f ) entspricht

richtig?

Das stimmt leider auch noch nicht ganz. ich schreibe dir die Umformung mal auf:
$$(g\circ h)\circ f=gh+g+h+f+ghf+gf+hf\\ =ghf+gh+gf+g+hf+h+f\\ =g\cdot(hf+h+f)+g+hf+h+f\\ =g\cdot(h\circ f)+g+(h\circ f)\\ =g\circ(h\circ f)$$

Wie schon gesagt ist es schwierig die Schritte so zu sehen, einfacher ist es die Gleichungen von unten nach oben zu lesen.

Das sieht fast genau so aus wie der Weg den ich gegangen bin nur das bei deinen Schritten statt einem + ein * ist.

Kann man das mit meiner Methode nicht auch so hinbekommen?

Und daraus folgt

g ( h + f + hf) + g ( h + hf + f )

Das zweite \(g\) sollte da nicht stehen, sonst kommt beim ausmultiplizieren ja was ganz anderes raus. Dann ist das der selbe Schritt wie bei mir.

und das führt dann wiederum zu

g ( hf + h + f ) was g ◦ ( h ◦ f ) entspricht

ich weiß nicht ganz, wie du da hin kommst aber es ist \(g\cdot(hf+h+f)\neq g\circ(h\circ f)\)
(Stattdessen: \(g\cdot(hf+h+f)=g\cdot(h\circ f)\))

okay danke habe deine Gleichung jetzt verstanden. Ich versuche mich gerade mit dem Inversen und habe nach h aufgelöst. Jetzt ist zu zeigen das

g ◦ h = h ◦ g = 0 ist richtig?

Ja, das ist richtig

Algebra Blatt 4.jpg


Ich habe das so gelöst mit dem Inversen

Sieht gut aus würde ich sagen.

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