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Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und sei f : V → V eine lineare Abbildung.
(i) Zeigen Sie, dass Vf := {v ∈ V | f(v) = v} ein Unterraum von V ist.
(ii) Sei V = ℝ2. Sei a ∈ ℝ und sei fa : ℝ2 → ℝ2 gegeben durch
fa (x y) = (ax-y -x+ay)
Bestimmen Sie Vfa in Abhängigkeit von a.


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zu (i):
Hier muss man ja nur die Unterraumaxiome nachprüfen:
U1: 0∈Vf
Da V ein K-Vektorraum ist, folgt direkt die Existenz eines neutralen Elements 0 ∈ V mit v ⊕ 0 = 0 ⊕ v = v und es ist f(0) = 0
Demnach ist 0 ∈ Vf

U2: Für alle v,u ∈ Vf gilt v+u ∈ Vf
Sei v = (a1,...,an) und u = (b1,...bn) mit a1,...an,b1,...bn ∈ K
Dann ist v+u=(a1+b1,...an+bn) ∈ V wegen der Abgeschlossenheit bezüglich der Addition in K und wegen der linearen Abbildung folgt: f(v+w) = f(v)+f(w) ∈Vf
U3: So ähnlich wie U2

Meine Idee zu (ii):

Hätte man dann nicht einfach Vfa = { v ∈ ℝ2 | fa(x y) = (ax-y x+ay) }
Oder muss man hier noch etwas beachten?

Würde mich über Hilfe freuen.

von

1 Antwort

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Hallo

i ist richtig, nur warum du u und v erst als Buchstaben n Tupel hinschreibst ist wenig hilfreich

besser seien u und v  mit f(u)=u und f(v)= v dann folgt aus der Linearität von f--

Fehlt in ii ein Komma? als fa (x , y) = (ax-y,  -x+ay)

dann ist doch V^f durch f(x,y)=(x,y) definiert und du has 2 Gleichungen . für x und y

lul

von 83 k 🚀
Fehlt in ii ein Komma? als fa (x , y) = (ax-y, -x+ay)

Nein fa (x y) = (ax-y -x+ay) ist schon richtig, das sollte als Vektor aufgefasst sein, also

fa = (x) = (ax-y)
       (y)    (-x+ay)

dann stimmt ja meine Antwort, es ist äußerst ungewöhnlich einen Vektor \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) als (xy) zu schreiben, macht ihr das wirklich, wenigstens (x,y) um es von x*y  zu unterscheiden?

lul

wir schreiben Vektoren so \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \), ich habe nur (x y) geschrieben, damit man das als Vektor versteht (ich kenne mich mit LaTeX nicht so gut aus) Sorry für die Verwirrung

Hallo

wenn man Vektoren in einer Zeile schreibt, dann immer mit Komma zwischen den Komponenten, wenn man zeigen will, dass es eigentlich ein Spaltenvektor ist  dann schreibt man (x,y)^T   für transponiert.

lul

dann ist doch Vf durch f(x,y)=(x,y) definiert und du has 2 Gleichungen . für x und y

Meinst du ax-y=x und -x+ay=y?
Dann habe ich mit dem Cramer Verfahren x=(a*x+y)/(a^2*x-x) und
y=(x+a*y)/(a^2*y-y) rausbekommen.

Hallo

du hast die 2 Gleichungen

(a-1)x - y=0

x -(a-1)y=0

(überprüfe!)

die du nach x  und y auflösen musst, dann sollte y nicht mehr in x=... vorkommen, was du gemacht hast versteh ich nicht  du hast einfach dividiert??

lul

Ich habe die Gleichungen aufgelöst und für a = 0 und a = 2 herausbekommen. Ich verstehe aber nicht wie mir das weiterhelfen soll.

Hallo

du willst nicht a bestimmen sondern x und y nämlich den Vektor (x,y) der von f in sich abgebildet wird. Irgendwie hast du das Ziel aus den Augen verloren !

lul

Ich habe für y = (a-1)x und für x = (a-1)y herausbekommen, also als Vektor

v = ((a-1)y, (a-1)x)

nochmal

du hast jetzt behauptet dass alle Vektoren (a-1)*(x,y) auf sich abgebildet werden, das heisst all Vektoren aus R^2 ?

du musst nicht x(y) bestimmen sondern x(a) wenn es das für alle a gibt.

vielleicht nimmst du mal ne Zahl für a?

erstmal a=0 und 2, als deinem vergangenen post, dann  eine andere Zahl.

Gruß lul

Sorry kannst du mir die (ii) vorrechnen? Ich bin von deiner Erklärung verwirrt

Kannst du das mal für 3 feste Zahlen a ausrechnen, 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten musst du ausrechnen können!

lul

Es sei y = (a-1)x und für x = (a-1)y
Fall a = 0:

y = (0-1)x <=> y = -x
x = (0-1)y <=> x = -y

Fall a = 2:

y = (2-1)x <=> y = x
x = (2-1)y <=> x = y

Fall a = 1:

y = (1-1)x <=> y = 0
x = (1-1)y <=> x = 0

Ich verstehe nicht wie ich mit dieser Erkenntnis Vfa in Abhängigkeit von a bestimmen soll.

Hallo

daraus schließt du: für alle a ausser a=0 und 2 ist V^f der 0 Raum. dazu solltest du noch ein allgemeines a≠0 und ≠2 einsetzen

für a=2 ist V^f Span von (1,1)  oder r*(1,1=

für a=0 ist  V^f  Span von (1,-1)  oder r*(1,-1) r in ℝ

Gruss lul

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