zeige : δ > 0 mit d(x,y) > δ für alle x ∈ K und y ∈ ∂A

Question

Aufgabe:

Sei (X,d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ A ⊂ X.

Sei A offen und K ⊂ A eine kompakte Menge. Zeige, dass es ein δ > 0 so gibt, dass d(x,y) > δ für alle x ∈ K und y ∈  ∂A gilt.

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Hallo,

wir benutzen, dass ein metrischer Raum kompakt ist gdw. er folgenkompakt ist. Das heißt wir nutzen hier, dass $K$ kompakt ist genau dann, wenn jede Folge in $K$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ hat. Ich betrachte weiterhin nur solche $A$ mit $\partial A\neq\emptyset$ sonst ist die Aussage ja trivial.
Der Beweis ist nun per Widerspruch:

Angenommen die Behauptung gilt nicht, dann gibt es für jedes $n\in\mathbb N$ ein $x_n\in K$ und ein $y_n\in \partial A$ mit $\mathrm d(x_n,y_n)<\frac{1}{n}$. Da $K$ kompakt ist gibt es nun eine Teilfolge $(x_{n_k})_k$ mit $x_{n_k}\to x\in K\subseteq A$ für $k\to\infty$. Da $A$ offen ist finde ich ein $\varepsilon>0$ sodass $B_\varepsilon(x)\subseteq A$. Für $n$ groß genug muss dann $y_n\in B_\varepsilon(x)$ sein. Widerspruch

Das letzte Argument habe ich nur sehr grob formuliert. Mache dir klar warum $y_n\in B_\varepsilon(x)$ für große $n$ gelten muss und vor allem warum das ein Widerspruch ist (Wozu?).

Gerne helfe ich bei Fragen weiter
LG Dojima