Zeige, dass gilt A*B=BA*

Question

Aufgabe: Seien A,B∈ℂ^nxn mit n∈ℕ und A und B sind normal. Gelte zusätzlich AB=BA. Warum gilt dann auch A*B=BA* ?(A* steht für das komplex konjugierte der Matrix A)

Answer 1

Da $A$ und B kommutieren und normal sind, sind sie simultan diagonalisierbar. Es gibt also eine unitäre Matrix $S$ und Diagonalmatrizen $D_1, D_2$ mit
$A=S D_{1} S^{*}, \quad B=S D_{2} S^{*}$
Damit ergibt sich
$\begin{aligned} A B^{*} &=\mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*}\left(\mathbf{S D}_{2} \mathbf{S}^{*}\right)^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*} \mathbf{S D}_{2}^{*} \mathbf{S}^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{1} \mathbf{D}_{2}^{*} \mathbf{S}^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{2}^{*} \mathrm{D}_{1} \mathbf{S}^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{2}^{*} \mathbf{S}^{*} \mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*} \\ &=\left(\mathbf{S D}_{2} \mathbf{S}^{*}\right)^{*} \mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*}=\mathbf{B}^{*} \mathbf{A} \end{aligned}$