0 Daumen
967 Aufrufe

Aufgabe:

Seien z, w ∈ ℂ mit cos(z) ≠ 0, cos(z) ≠ 0 und cos(z + w) ≠ 0. Zeigen Sie:
tan(z + w) = (tan(z) + tan(w))/(1 − tan(z) tan(w))


Problem/Ansatz:

Ich habe schon versucht mit den Exponentialdarstellungen tan(z+w) umzuformen, aber ich komme auf kein passendes Ergebnis. Wäre für Hilfe dankbar.

Avatar von

Benutze die Exponentialdarstellung von sinus und cosinus und setze diese in tan(z)=sin(z)/cos(z)\tan(z) = \sin(z) / \cos(z) ein

Sorry ich meinte ich habe schon die Exponentialdarstellung probiert nicht Potenzreihendarstellung. Hab mich verschrieben.

Die vergessenen Klammern habe ich nachgetragen.

Das war  versehentlich eine Antwort

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

tan(z+w)=sin(z+w)cos(z+w) tan(z + w) = \frac{sin(z+w)}{cos(z+w)}

Wegen:

sin(z+w)=sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w) sin(z+w) = sin(z)*cos(w)+cos(z)*sin(w)
cos(z+w)=cos(z)cos(w)sin(z)sin(w) cos(z+w) = cos(z)*cos(w)-sin(z)*sin(w)

folgt:

tan(z+w)=sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w)cos(z)cos(w)sin(z)sin(w) tan(z + w) = \frac{sin(z)*cos(w)+cos(z)*sin(w)}{cos(z)*cos(w)-sin(z)*sin(w)}

Wegen cos(w) = sin(w)/tan(w) folgt

tan(z+w)=sin(z)sin(w)tan(w)+sin(z)tan(z)sin(w)sin(z)tan(z)sin(w)tan(w)sin(z)sin(w) tan(z + w) = \frac{sin(z)*\frac{sin(w)}{tan(w)}+\frac{sin(z)}{tan(z)}*sin(w)}{\frac{sin(z)}{tan(z)}*\frac{sin(w)}{tan(w)}-sin(z)*sin(w)}


tan(z+w)=sin(z)sin(w)tan(w)+sin(z)sin(w)tan(z)sin(z)sin(w)tan(z)tan(w)sin(z)sin(w) tan(z + w) = \frac{\frac{sin(z)*sin(w)}{tan(w)}+\frac{sin(z)*sin(w)}{tan(z)}}{\frac{sin(z)*sin(w)}{tan(z)*tan(w)}-sin(z)*sin(w)}

tan(z+w)=sin(z)sin(w)1tan(w)+1tan(z)sin(z)sin(w)1tan(z)tan(w)1 tan(z + w) = \frac{sin(z)*sin(w)*\frac{1}{tan(w)}+\frac{1}{tan(z)}}{sin(z)*sin(w)*\frac{1}{tan(z)*tan(w)}-1}

tan(z+w)=1tan(w)+1tan(z)1tan(z)tan(w)1 tan(z + w) = \frac{\frac{1}{tan(w)}+\frac{1}{tan(z)}}{\frac{1}{tan(z)*tan(w)}-1}


tan(z+w)=tan(w)+tan(z)tan(z)tan(w)1tan(z)tan(w)tan(z)tan(w) tan(z + w) = \frac{\frac{tan(w)+tan(z)}{tan(z)tan(w)}}{\frac{1-tan(z)*tan(w)}{tan(z)*tan(w)}}


tan(z+w)=tan(w)+tan(z)1tan(z)tan(w) tan(z + w) = \frac{tan(w)+tan(z)}{{1-tan(z)*tan(w)}}

Avatar von 3,4 k
0 Daumen
0 Daumen

Benutze
sin(x+y)/cos(x+y) und die bekannten Additionstheoreme für sin(x+y) und cos (x+y) dann erweitere mit 1/(cos(x)*cos(y))
Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage