Zeigen Sie: tan(z + w) =(tan(z) + tan(w))/(1 − tan(z) tan(w))

Question

Aufgabe:

Seien z, w ∈ ℂ mit cos(z) ≠ 0, cos(z) ≠ 0 und cos(z + w) ≠ 0. Zeigen Sie:
tan(z + w) = (tan(z) + tan(w))/(1 − tan(z) tan(w))

Problem/Ansatz:

Ich habe schon versucht mit den Exponentialdarstellungen tan(z+w) umzuformen, aber ich komme auf kein passendes Ergebnis. Wäre für Hilfe dankbar.

Comments

Benutze die Exponentialdarstellung von sinus und cosinus und setze diese in $\tan(z) = \sin(z) / \cos(z)$ ein

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Sorry ich meinte ich habe schon die Exponentialdarstellung probiert nicht Potenzreihendarstellung. Hab mich verschrieben.

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Die vergessenen Klammern habe ich nachgetragen.

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Das war  versehentlich eine Antwort

Answer 1

$tan(z + w) = \frac{sin(z+w)}{cos(z+w)}$

Wegen:

$sin(z+w) = sin(z)*cos(w)+cos(z)*sin(w)$
$cos(z+w) = cos(z)*cos(w)-sin(z)*sin(w)$

folgt:

$tan(z + w) = \frac{sin(z)*cos(w)+cos(z)*sin(w)}{cos(z)*cos(w)-sin(z)*sin(w)}$

Wegen cos(w) = sin(w)/tan(w) folgt

$tan(z + w) = \frac{sin(z)*\frac{sin(w)}{tan(w)}+\frac{sin(z)}{tan(z)}*sin(w)}{\frac{sin(z)}{tan(z)}*\frac{sin(w)}{tan(w)}-sin(z)*sin(w)}$

$tan(z + w) = \frac{\frac{sin(z)*sin(w)}{tan(w)}+\frac{sin(z)*sin(w)}{tan(z)}}{\frac{sin(z)*sin(w)}{tan(z)*tan(w)}-sin(z)*sin(w)}$

$tan(z + w) = \frac{sin(z)*sin(w)*\frac{1}{tan(w)}+\frac{1}{tan(z)}}{sin(z)*sin(w)*\frac{1}{tan(z)*tan(w)}-1}$

$tan(z + w) = \frac{\frac{1}{tan(w)}+\frac{1}{tan(z)}}{\frac{1}{tan(z)*tan(w)}-1}$

$tan(z + w) = \frac{\frac{tan(w)+tan(z)}{tan(z)tan(w)}}{\frac{1-tan(z)*tan(w)}{tan(z)*tan(w)}}$

$tan(z + w) = \frac{tan(w)+tan(z)}{{1-tan(z)*tan(w)}}$

Answer 2

Siehe hier:

https://www.matheretter.de/wiki/additionstheorem-tangens

Answer 3

Benutze
sin(x+y)/cos(x+y) und die bekannten Additionstheoreme für sin(x+y) und cos (x+y) dann erweitere mit 1/(cos(x)*cos(y))
Gruß lul