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Aufgabe:

Ein Pferd läuft in x x -Richtung bei x=>0 x=\ell>0 mit konstanter Geschwindigkeit vP v_{\mathrm{P}} los. Ein beliebig dehnbares homogenes Band ist mit dem einen Ende im Nullpunkt befestigt, mit dem anderen Ende am Pferd. Eine Schnecke beginnt gleichzeitig mit dem Pferd im Nullpunkt mit konstanter (Relativ-)Geschwindigkeit vS v_{\mathrm{S}} auf dem Band zu laufen. Der Abstand der Schnecke vom Nullpunkt zur Zeit t t sei x(t) x(t) .
(a) Formuliere das Anfangswertproblem zur Bestimmung von x(t) x(t) und löse es.
(b) Erreicht die Schnecke das Pferd? Wenn ja, nach welcher Zeit? Hängt es von den Geschwindigkeiten vP,vS v_{\mathrm{P}}, v_{\mathrm{S}} ab, ob die Schnecke das Pferd erreicht?


Problem/Ansatz:
Hallo Leute!
kann mir jemand helfen??? und danke im voraus

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Beste Antwort

Die Dgl. für die Schneckenbewegung lautet

ddtx(t)=v(t)=vS+x(t)l+vPtvP \frac{d}{dt} x(t) = v(t) = v_S + \frac{ x(t) } { l + v_P \cdot t } \cdot v_P und daraus

d2dx2x(t)=vSvPl+vPt \frac{d^2}{dx^2} x(t) = \frac{v_S \cdot v_P} { l + v_P \cdot t }

Also v(t)=ddtx(t)=vSvPdtl+vPt=vSvP=vSln(l+vPt)+K1 v(t) = \frac{d}{dt} x(t) = v_S \cdot v_P \int \frac{dt}{l + v_P \cdot t} = v_S \cdot v_P = v_S \ln(l + v_P \cdot t) + K_1

Wegen v(0)=vS v(0) = v_S folgt

K1=vS(1ln(l)) K_1 = v_S ( 1 - \ln(l)) also

(1)v(t)=vS(1+ln(l+vPtl)) (1) \quad v(t) = v_S \left( 1 + \ln\left( \frac{l+v_P \cdot t}{l} \right) \right)

und

x(t)=0tv(τ)dτ=vSvP(l+vPt)ln(l+vPtl) x(t) = \int_0^t v(\tau) d\tau = \frac{ v_S }{ v_P} \cdot (l+v_P \cdot t) \cdot \ln \left( \frac{l+v_P \cdot t}{l} \right)

Aus (1) folgt für v(tE)=vS+vP v(t_E) = v_S+v_P

tE=lvP(evpvS1) t_E = \frac{l}{v_P} \left( e^{ \frac{v_p}{v_S} } -1 \right) Nach dieser Zeit erreicht die Schnecke das Pferd.

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Das Problem gibt es n Mal im netz, z.B unter  Schnecke und Gummiband bei google

die Dgl die du suchst ist xs'(t)=vs+vp*xs(t)/xp(t)

vs die konstante v der Schnecken xp=Weg des Pferdes =vp*t

Gruß lul

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