Zeigen Sie, eine Funktion f: \Omega → ℝ ist genau dann konstant auf \Omega , wenn \nabla f(x)=0 für alle x ∈ \Omega .

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz: jemand eine Idee? Ich bedanke mich im voraus! Upload failed: [object Object]

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Seien $m, n \in \mathbb{N}$ und $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ ein Gebiet, d.h. offen und zusammenhängend. Weiter sei $f \in \mathrm{C}^{1}(\Omega, \mathbb{R})$. Zeigen Sie, eine Funktion $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ist genau dann konstant auf $\Omega$, wenn $\nabla f(x)=0$ für alle $x \in \Omega$.
Hier bezeichnet $x \cdot y:=\langle x, y\rangle$ das Standardskalarprodukt.

Comments

Was heißt bei Euch "zusammen hängend" "Wegzusammenhängend"?

Answer 1

Hallo,

aus Zeitgründen kann ich erstmal nur eine Idee anbieten:

Sei $\omega\in\Omega$. Da $f$ stetig ist, ist $f^{-1}(\{f(\omega)\})$ abgeschlossen und nichtleer. Zeige nun, dass $f^{-1}(\{f(\omega)\})$ auch offen ist. Das sollte mit dem Mittelwertsatz ganz gut gehen. Dann ist schon $f^{-1}(\{f(\omega)\})=\Omega$ da $\Omega$ zusammenhängend ist (je nach eurer Definition von zusammenhängend muss man evt dafür einen Satz benutzen).

LG Dojima