Question

Bestimmen Sie folgende Grenzwerte!

a.)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2-e^{x^{2}}-e^{-x^{2}}}{x^{4}} \)
b.) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cos \left(\frac{\pi}{2 x+1}\left(\frac{3 x^{3}+5 x}{x^{2}+2}-5 x\right)\right) \)

Zu a.) Das müsste l'hospital sein, da 0/0. Theoretisch müsste ich den unteren Term 4-mal ableiten bis das x wegfällt. Den oberen Term könnte ich auch 4-mal ableiten, allerdings würde der dann sehr lang werden, was mir nicht richtig erscheint.

Comments

Für dieses Beispiel gibt es 2 Möglichkeiten zur Vereinfachung:

1. Du substituierst x^2=t

2. Du benutzt die Taylorreihe für die exp Funktion

Answer 1

a)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2-e^{x^{2}}-e^{-x^{2}}}{x^{4}} \) =

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2-e^{x}-e^{-x}}{x^{2}} \) =

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2e^{x}-e^{x}*e^{x}-e^{-x}*e^{x}}{x^{2}*e^{x}} \) =

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2e^{x}-e^{x}*e^{x}-1}{x^{2}*e^{x}} \) =

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2e^{x}-e^{x}*e^{x}-1}{x^{2}*e^{x}} \) =

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-(e^{x}-1)^2}{x^{2}*e^{x}} \) =

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} -(\frac{e^{x}-1}{x})^2 * \frac{1}{e^{x}}  \) =

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} -(1)^2 * \frac{1}{e^{x}}  \) = -1

b)

\(  \frac{\pi}{2 x+1}(\frac{3 x^{3}+5 x}{x^{2}+2}-5x) = \frac{-π x - 4π}{9 (x^2 + 2)} + \frac{11π}{9 (2x + 1)}  - π \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \cos \left(\frac{\pi}{2 x+1}\left(\frac{3 x^{3}+5 x}{x^{2}+2}-5 x\right)\right) = cos(-π) = -1 \)

Answer 2

Mit L'Hospital:
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2-e^{x^{2}}-e^{-x^{2}}}{x^{4}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-e^{x^{2}} \cdot 2 x-e^{-x^{2}} \cdot(-2 x)}{4 x^{3}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-e^{x^{2}} \cdot 2 x-e^{-x^{2}} \cdot(-2 x)}{4 x^{3}}= \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-e^{x^{2}}+e^{-x^{2}}}{2 x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-e^{x^{2}} \cdot 2 x+e^{-x^{2}} \cdot(-2 x)}{4 x} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot\left(-e^{x^{2}}-e^{-x^{2}}\right)=-1 \end{array} \)