Bestimme eine Basis von Kern(u), Bild(u), was ist rang(u)

Question

Text erkannt:

Aufgabe 46
Sei $V=\mathbb{R}^{3}$ und $B=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)$ die kanonische Basis von $V$. Wir bezeichnen die lineare Abbildung $u: V \rightarrow V$ mit
$u\left(e_{1}\right)=-2 e_{1}+2 e_{3}, \quad u\left(e_{2}\right)=3 e_{2}, \quad u\left(e_{3}\right)=-4 e_{1}+4 e_{3} .$
(i) Bestimmen Sie eine Basis von Kern $(u)$. Ist $u$ injektiv? Kann $u$ surjektiv sein? Warum?
(ii) Bestimmen Sie eine Basis von $\operatorname{Im}(u)$. Was ist $\operatorname{rang}(u)$ ?
(iii) Zeigen Sie: $V=\operatorname{Kern}(u) \oplus \operatorname{Im}(u)$.

Problem/Ansatz:

könnte mir hier wer weiterhelfen? also beim Kern würde ich mal sagen dass er nicht 0 sein kann weil e1 = e2 = e3 nicht 0 ist aber leider weiß ich auch nicht weiter was er sonst ist....

Beim Bild würd ich sagen e1(-2,-4) e2(3,0) e3(0,4)

Bitte bessert mich aus falls ich falsch liege, für (iii) hab ich leider gar keinen Ansatz....

Answer 1

Ermittle die Abbildungsmatrix $M$ von $u$ bezüglich der Basis $B$.

Dann ist

        $\begin{aligned} \operatorname{Kern}(u) & =\left\{ x\in\mathbb{R}^{3}|\ M\cdot x=0\right\} \\ \operatorname{Im}(u) & =\left\{ y\in\mathbb{R}^{3}|\ \exists x\in\mathbb{R}^{3}:\,M\cdot x=y\right\} \\ \operatorname{rang}(u) & =\operatorname{rang}(M)\text{.} \end{aligned}$

Comments

das verstehe ich leider nicht ganz, und was ist mit e1, e2, e3?