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ich hatte Anfangs sehr große Probleme mit den Primzahlen, ich konnte mir irgendwie nichts darunter vorstellen obwohl der Sachverhalt doch recht einfach ist.

Kann ich jede zusammengesetzte Zahl -bis auf Primzahlen- in Primfaktoren zerlegen? Gibt es da grenzen oder kann man grob beschrieben sagen, dass jede gemischte Zahl aus Primfaktoren bestehen?
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4 Antworten

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Also, Primzahlen sind ja alle Zahlen, die nur durch eins und sich selbst teilbar sind - mit anderen Worten: alle ganzen Zahlen mit genau zwei Teilern.

Das heißt, jede zusammengesetzte Zahl z besitzt mindestens einen Teiler, der nicht 1 oder z ist.
 

Nun ist relativ einfach zu beweisen, dass man jede Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben kann:

Nehmen wir an, es wäre nicht so, also es gäbe zusammengesetzte Zahlen, die sich nicht in Primfaktoren zerlegen lassen. Dann müsste es davon eine kleinste geben, nennen wir sie z.
Da z keine Primzahl ist, besitzt z einen Teiler, mit anderen Worten, es gibt eine kleinere Zahl t, mit der Eigenschaft, dass

t*n = z

für irgendeine ganze Zahl n zwischen 1 und z.

Da nun aber t und n beide kleiner sind als z, besitzen sie jeweils eine Primfaktorzerlegung, ihr Produkt besitzt als Primfaktorzerlegung also das Produkt der beiden einzelnen Primfaktorzerlegungen.
Nach Voraussetzung soll z aber nicht in Primfaktoren zerlegbar sein: das ist ein Widerspruch, also kann es eine solche Zahl nicht geben.

⇒ Jede zusammengesetzte Zahl (ganz gleich, wie groß sie auch sein mag) lässt sich in Primfaktoren zerlegen.
von 10 k
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Primzahlen haben die besondere Eigenschaft, dass sie genau 2 natürliche Zahlen als Teiler haben. Zum einen die 1 und dann sich selbst.

Die 1 ist aus dem Grund keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler hat.

Jede andere Zahl die keine Primzahl ist muss also mind. aus 3 Teilern bestehen. Jede Zahl kann also in ihre Primfaktoren zerlegt werden.

99 = 3 * 3 * 11

Das ist jetzt die Primzahlzerlegung von 99.
von 373 k 🚀

es gibt aber ein (oder mehrere) Gegenbeispiel (-e), dass es aus weniger als drei Faktoren bestehen kann --> 4=2*2, 6=2*3; ....

Tschuldigung, habe mich verlesen... ich habe Faktoren und nicht Teiler gelesen....
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Von Anfang an: Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur 2 Teiler hat, nämlich 1 und die Zahl selber. Als Beispiel T13={1,13} oder T2={1,2} und so weiter. Hier sieht man auch, warum 1 keine Primzahl ist, sie hat nur einen Teiler. 

Weiter zum nächsten Teil: Du willst alle Zahlen in deren Primfaktoren zerlegen. Dies ist ohne Einschränkung möglich (es ist noch kein Gegenbeispiel gefunden worden). Es gibt eine praktische Grenze, wo die Computer und Rechner nicht mehr genug leistungsfähig sind, jedoch ist es in Theorie bis ins Unendliche möglich. Also: In deinem Zahlenbereich kannst du mit Sicherheit davon ausgehen, dass die Primfaktorzerlegung funktioniert. Auch hier habe ich noch einige Beispiele:  245=5*49=5*7*7; 41=41*1; 1654=2*827; 6545=5*1309=5*7*187=5*7*11*17; .... Wie du sieht, kann man Primzahlen auch zerlegen, jedoch nicht weit (siehe Beispiel mit 41)...

 

Ich hoffe, ich konnte helfen und habe deine Frage beantwortet.

Simon

 

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von 4,0 k
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Jede Zussmmengesetze Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden.

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