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Aufgabe:

Zeigen Sie

(a) nZ := {nk; k ∈ Z} ist eine Untergruppe von (Z,+) für jedes n ∈ N0.
(b) Jede Untergruppe U von Z ist von dieser Form.

Anleitung: Im Fall U≠{0} gibt es eine kleinstes n ∈ U ∩ N; warum? ZeigenSie m∈U =⇒ nlm.


Problem/Ansatz:

Für jede Hilfe bin dankbar! Danke im Voraus

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Beh.:  nZ := {nk; k ∈ Z} ist eine Untergruppe von (Z,+) für jedes n ∈ N0.

Bew.: Sei n ∈ N0.

1. Es gilt 0∈nZ; denn 0 ist von der Form nk mit k∈ Z, nämlich k=0.

2. Zu jeden x∈ nZ ist auch -x ∈ nZ ;  denn

x∈ nZ ==> ∃ k ∈ Z mit x = n*k. Aber mit k ist auch -k ∈ Z, also

                  n*(-k) = -x ∈ nZ

3.   nZ ist abgeschlossen bzgl. +; denn Seien x,y ∈ nZ

==>  ∃ k ∈ Z mit x = n*k. und ∃ h ∈ Z mit y = n*h.

Dann ist auch k+h ∈ Z , also n(k+h)  ∈ nZ

Und mit   n(k+h) = nk+nh = x+y.

Also ist nZ eine Untergruppe.

Beh.:  Jede Untergruppe U von Z ist von dieser Form.

Ist U={0} , dann ist U=0Z, also von der vorgegebenen Form.

Ist U≠{0} so enthält U ein Element x≠0, und weil es eine Untergruppe

ist auch -x. Eines dieser beiden Elemente ist in N, also ist

U ∩ N eine nicht leere Teilmenge von N, enthält also ein

kleinstes Element n.

Sei nun m∈U . Wegen der "Division mit Rest" gibt es

q∈ℤ und r∈ℕo mit m=q*n+r und r<n ==>    m-qn = r

Da n∈U ist auch q*n = n+n+n+...+n aus U.

Also ist die Differenz m-qn auch aus U, also r∈U.

Wegen r<n und der Wahl von n als Minimum, ist also r=0

==>   m=q*n.       Also ist jedes m∈U von der Form q*n.

q.e.d.

von 257 k 🚀

Dankesehr!!!

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