Aloha :)
Das kann man nicht beweisen, weil es falsch ist.
Für \(A=0\) und \(B=0\) ist der Ausdruck nämlich nicht definiert.
Mit der Einschränkung \(B\ne0\) ist die Behauptung richtig. Dazu unterschiede 3 Fälle:$$1)\;A=0\implies\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{0}{0+B^2}=0\quad\checkmark$$$$2)\;A>0\implies\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\sqrt{A^2}}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{B^2}{A^2}}}\in(0;1)\quad\checkmark$$$$3)\;A<0\implies\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{-\sqrt{A^2}}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{B^2}{A^2}}}\in(-1;0)\quad\checkmark$$Für \(B\ne0\) gilt daher für alle \(A\in\mathbb R\):$$\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\in(-1;1)$$
